Question

докажите,что сумма квадратов всех медиан прямоугольного треугольника составляет 2/3 квадрата гипотенузы

Answer 1

не 2/3, а 3/2

ma^2 = (a/2)^2+b^2;

mb^2 = (b/2)^2+a^2;

mc = c/2; mc^2 = c^2/4

ma^2 + mb^2 + mc^2 = a^2 + b^2/4 + b^2 + a^2/4 + c^2/4 =

= c^2*(1 + 1/4 + 1/4) = c^2*3/2;

Answer 2

Доказательство суммы квадратов медиан прямоугольного треугольника

Для доказательства того, что сумма квадратов всех медиан прямоугольного треугольника составляет 2/3 квадрата гипотенузы, мы можем использовать геометрический подход.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а M, N и P - середины сторон BC, AC и AB соответственно. Мы хотим доказать, что сумма квадратов AM, BN и CP равна 2/3 квадрата гипотенузы.

Для начала, давайте найдем длины медиан. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В прямоугольном треугольнике медианы делятся пополам гипотенузы.

Пусть гипотенуза AB имеет длину c, а стороны AC и BC имеют длины a и b соответственно. Тогда длины медиан AM, BN и CP равны половине длины гипотенузы, то есть c/2.

Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника через длину гипотенузы. Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующие равенства:

AC^2 = AM^2 + MC^2 BC^2 = BN^2 + NC^2

Заметим, что MC и NC - это половины сторон AC и BC соответственно, то есть MC = a/2 и NC = b/2. Подставляя эти значения, мы получаем:

AC^2 = AM^2 + (a/2)^2 BC^2 = BN^2 + (b/2)^2

Теперь сложим эти два равенства:

AC^2 + BC^2 = AM^2 + BN^2 + (a/2)^2 + (b/2)^2

Сумма квадратов медиан AM и BN равна AM^2 + BN^2, а сумма квадратов сторон AC и BC равна c^2. Подставляя это в уравнение, мы получаем:

c^2 = AM^2 + BN^2 + (a/2)^2 + (b/2)^2

Теперь заметим, что (a/2)^2 + (b/2)^2 - это сумма квадратов половин сторон треугольника. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2. Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

c^2 = AM^2 + BN^2 + (a/2)^2 + (b/2)^2 c^2 = AM^2 + BN^2 + (a^2 + b^2)/4

Теперь заметим, что (a^2 + b^2)/4 - это 1/4 квадрата гипотенузы. Подставляя это в уравнение, мы получаем:

c^2 = AM^2 + BN^2 + (1/4)c^2

Теперь выразим AM^2 + BN^2 через c^2:

AM^2 + BN^2 = c^2 - (1/4)c^2 AM^2 + BN^2 = (3/4)c^2

Таким образом, сумма квадратов медиан AM и BN равна (3/4)c^2.

Теперь давайте рассмотрим третью медиану CP. Мы знаем, что медиана CP также делит гипотенузу пополам, поэтому длина CP равна c/2. Следовательно, квадрат длины CP равен (c/2)^2 = (1/4)c^2.

Теперь сложим сумму квадратов медиан AM и BN с квадратом медианы CP:

AM^2 + BN^2 + CP^2 = (3/4)c^2 + (1/4)c^2 AM^2 + BN^2 + CP^2 = (4/4)c^2 AM^2 + BN^2 + CP^2 = c^2

Таким образом, сумма квадратов всех медиан прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Доказательство завершено.