Question

У рівнобічну трапецію з гострим кутом 60°вписано коло, периметр трапеці дорівнює 4 кореня з 3. знайдіть висоту. в равностороннюю трапецию с острым углом 60 ° вписан круг, периметр трапеции равен 4 кореня с 3. найдите высоту.

Answer 1

Розв'язок на фото нижче: 

Answer 2

Для начала рассмотрим решение на украинском языке, а затем переведем его на русский.

Українське рішення

Нехай ABCD - рівнобічна трапеція, в яку вписано коло. Оскільки ABCD - рівнобічна трапеція, то AB = CD. Позначимо радіус кола через r, а висоту трапеції через h.

Також відомо, що периметр трапеції дорівнює 4√3. Оскільки AB = CD, то периметр трапеції можна записати як P = AB + BC + CD + AD = 2AB + BC + 2rπ. З умови задачі відомо, що P = 4√3, отже 2AB + BC + 2rπ = 4√3.

Розглянемо трикутник ABC. Він є рівностороннім, оскільки в рівнобічній трапеції сторони AB і BC є паралельними і однакової довжини. Таким чином, BC = AB, і ми можемо записати P = 2AB + 2BC + 2rπ = 4AB + 2rπ = 4√3.

З умови задачі маємо AB = CD, отже P = 4AB + 2rπ = 4AB + 2rπ = 4√3. Отже, 4AB = 4√3 - 2rπ.

Також відомо, що кут ABC - гострий кут, і тому трикутник ABC є прямокутним. За теоремою Піфагора, маємо AB^2 + BC^2 = AC^2. Оскільки ABC - рівносторонній трикутник, то AB = BC, тому AB^2 + AB^2 = AC^2, тобто 2AB^2 = AC^2.

Таким чином, маємо 2AB^2 = AC^2 = (2AB)^2, звідки AC = 2AB√2.

Також відомо, що радіус кола r - відстань від середини трапеції до середини кола. Оскільки ABCD - рівнобічна трапеція, то середина AB збігається з серединою CD, а середина BC збігається з серединою AD. Таким чином, висоту трапеції h можна знайти за допомогою виразу h = AC - 2r.

Підставимо вираз для AC та вираз для P, яке ми знайшли раніше, та отримаємо h = 2AB√2 - 2r = 2(√3 - rπ)√2 - 2r.

Таким чином, ми знайшли вираз для висоти рівнобічної трапеції в залежності від радіусу кола r.

Переклад на російську

Давайте переведемо отримане рішення на російську мову.

Периметр и высота равносторонней трапеции с углом 60° Для начала