Question

В равнобедренном треугоьнике боковая сторона относится к основанию как 5:3. В каком отношении делит высоту треугольника,проведенную к его основанию,биссектриса угла при основании?

Answer 1

Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда AB = BC = 5k, AC = 3k.
Опустим высоту BH. $BH = \sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(\frac{3k}{2})^{2}}=\frac{k\sqrt{91}}{2}$.

BH - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, значит, является и биссектрисой. AP - биссектриса (по условию). O - точка пересечения биссектрис BH и AP, значит, OH ($OH \perp AC$) и OT ($OT \perp AB$) - радиусы вписанной в треугольник окружности. Найдем радиус $r= \frac{2S}{a+b+c}$.

$p= \frac{5k+5k+3k}{2}=\frac{13k}{2}$
$S_{ABC}= \sqrt{\frac{13k}{2}*(\frac{13k}{2}-5k)^{2}*(\frac{13k}{2}-3k)}=\frac{3k^{2}\sqrt{91}}{4}$
$r=OH=OT=\frac{2*3k^{2}\sqrt{91}}{4*(5k+5k+35)}=\frac{3k\sqrt{91}}{26}$

$BO = BH - OH = \frac{k\sqrt{91}}{2}-\frac{3k\sqrt{91}}{26}=\frac{5k\sqrt{91}}{13}$

$\frac{BO}{OH}= \frac{5k\sqrt{91}*26}{13*3k\sqrt{91}}=\frac{10}{3}$

Ответ: $\frac{10}{3}$.

Answer 2

В равнобедренном треугольнике, где боковая сторона относится к основанию как 5:3, биссектриса угла при основании делит высоту треугольника в отношении 2:3.

Решение:

Пусть треугольник ABC является равнобедренным, где AB и AC - боковые стороны, BC - основание, и биссектриса угла при основании пересекает основание в точке D. Пусть высота треугольника, проведенная к основанию BC, равна h.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны между собой. По условию, отношение длины боковой стороны к длине основания равно 5:3. Поэтому, можно представить длины сторон AB и AC как 5x и 3x соответственно, где x - некоторая константа.

Так как биссектриса угла при основании делит основание BC пополам, то BD = DC = BC/2.

Теперь, чтобы найти отношение, в котором биссектриса делит высоту треугольника, проведенную к основанию BC, нужно найти отношение AD к CD.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABD, можно записать: AB^2 = AD^2 + BD^2

Аналогично, используя теорему Пифагора в треугольнике ACD, можно записать: AC^2 = AD^2 + CD^2

Так как AB = AC (треугольник равнобедренный), то можно приравнять выражения для AB^2 и AC^2: AD^2 + BD^2 = AD^2 + CD^2

Сокращая AD^2 с обеих сторон, получаем: BD^2 = CD^2

Так как BD = BC/2 и CD = BC/2, можно записать: (BC/2)^2 = (BC/2)^2

Упрощая, получаем: BC^2/4 = BC^2/4

Таким образом, BD^2 = CD^2, что означает, что биссектриса делит высоту треугольника, проведенную к основанию BC, пополам. Следовательно, отношение AD к CD равно 1:1, или 2:2, что эквивалентно 2:3.

Ответ: Биссектриса угла при основании делит высоту треугольника, проведенную к его основанию, в отношении 2:3.