Question

В параллелограмме АВСД точка М - середин стороны АВ. Известно, что МС=МД. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Answer 1

Нарисуйте параллелограмм.  Проведите в нем среднюю линию МН.

Соедините В и Н. 

Теперь у вас есть параллелограмм МВСН, с  диагоналями МС И ВН,   а ВН=МД как равные диагонали в равных параллелограммах МВСН и АМНД. 

Поэтому диагонали параллелограмма МВСН равны между собой по условию задачи.

Диагонали равны в параллелограмме, если он - прямоугольный. Параллелограмм АВСД - прямоугольник.  

 

Answer 2

треугольник DMC - равнобедренный, значит углы при основании равны угол MCD = угол MDC

треугольник MBC = треугольник AMD по трем сторонам (MC = MD, AM = MB, BC = AD)

тогда соответствующие углы равны угол ADM = угол BCM

т.е. угол BCD = угол ADC, следовательно ABCD - прямоугольник

 

Answer 3

Для того чтобы доказать, что данный параллелограмм является прямоугольником, мы должны показать, что углы этого параллелограмма являются прямыми углами.

Дано, что точка М - середина стороны АВ параллелограмма АВСД, и МС = МД.

Чтобы доказать, что углы параллелограмма АВСД прямые, мы можем использовать теорему о серединных перпендикулярах.

Теорема о серединных перпендикулярах:

Если в треугольнике две стороны равны и соединяющая их точка является серединой, то отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, перпендикулярен этой стороне и его длина равна половине длины этой стороны.

В нашем случае, точка М является серединой стороны АВ, а МС = МД. Значит, отрезок СМ равен отрезку МД и перпендикулярен стороне СД.

Также, по свойствам параллелограмма, противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, сторона АС также параллельна стороне ДВ.

Теперь рассмотрим треугольник СМД. У нас есть две параллельные стороны: СМ и АВ, и одна сторона, перпендикулярная этим двум сторонам: СД.

Согласно теореме о параллельных линиях, если у двух треугольников соответственные стороны параллельны, то эти треугольники подобны.

Таким образом, треугольник СМД подобен треугольнику САВ.

Так как угол САВ прямой (так как параллелограмм), то угол МДС (который соответствует углу САВ) также прямой.

Таким образом, мы доказали, что углы параллелограмма АВСД являются прямыми углами, и поэтому данный параллелограмм является прямоугольником.