Question

Точка касания вписанной в прямоугольный треугольник круга, делит гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см.Знайты площадь вписанного круга.

Answer 1

Точки касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делят:
гипотенузу на отрезки 12 и 8;
катеты на отрезки 12 и r, 8 и r,
r - радиус вписанной окружности.

r=S△/p, p=(a+b+c)/2 :
p= (12+8+12+r+8+r)/2 = 12+8+r = 20+r
S△= r(20+r) = r^2+20r

S△=ab/2 :
S△=(12+r)(8+r)/2

(12+r)(8+r)/2 = r^2+20r
96+8r+12r+r^2 = 2r^2+40r
r^2+20r-96 = 0
r1=-24 [r>0]
r2=4

Ответ: r=4

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему о точке касания вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Теорема о точке касания вписанной окружности

В прямоугольном треугольнике, точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит гипотенузу на два отрезка, длина каждого из которых равна произведению половины гипотенузы на тангенс половины угла при вершине прямого угла.

Решение задачи

По условию, мы знаем, что точка касания окружности делит гипотенузу на два отрезка: один длиной 8 см и другой длиной 12 см. Пусть половина гипотенузы равна x, тогда по теореме о точке кас