Question

Доказать, что если точка равноудельна от всех вершин многоугольника, то она проектируется на его плоскости в центре описанной окружности.

Answer 1

SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ - AD, OP - CD, ON - BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О - центр вписанной окружности, ч.т.д.

Answer 2

Доказательство: Точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, проецируется на его плоскости в центре описанной окружности

Для начала, давайте определим, что такое центр описанной окружности многоугольника. Центр описанной окружности многоугольника - это точка, которая находится на пересечении перпендикулярных биссектрис углов многоугольника. Теперь, давайте докажем, что если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на его плоскости в центре описанной окружности.

Доказательство: Предположим, что у нас есть многоугольник, и точка, равноудаленная от всех его вершин. Пусть эта точка называется P, а центр описанной окружности многоугольника - O.

Теперь, давайте рассмотрим радиусы описанной окружности, проведенные из центра O к вершинам многоугольника. Поскольку точка P равноудалена от всех вершин многоугольника, то она также находится на этих радиусах. Таким образом, точка P также лежит на описанной окружности многоугольника.

Таким образом, мы доказали, что если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на его плоскости в центре описанной окружности.