Question

Хорда окружности равна 6 корень из 2 и стягивает дугу в 90 градусов. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВО. Он равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы. ∠ОАВ=∠ОВА=(180-90)/2=45°. По теореме синусов:
$\frac{AO}{sinOBA} = \frac{AB}{sinAOB} \\ \frac{r}{sin45} = \frac{6 \sqrt{2} }{sin90} \\ \frac{r}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } =6 \sqrt{2} \\r=\frac{ \sqrt{2} }{2}*6 \sqrt{2}=6$.
Площадь сектора:
$S_ \alpha = \frac{ \alpha }{360} \pi r^2\\S_{90}= \frac{90}{360} \pi *36=9 \pi$
Длина дуги сектора:
$l_ \alpha = \frac{ \alpha }{360} *2 \pi r\\l_{90}= \frac{90}{360} *2 \pi *6=3 \pi$

Answer 2

Для начала найдем радиус окружности. Так как хорда окружности равна 6√2, то радиус можно найти, разделив эту длину на 2 и применив теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.

Радиус = (6√2) / 2 = 3√2

Теперь найдем длину дуги, которую стягивает данная хорда. Так как хорда стягивает дугу в 90 градусов, то длина дуги будет равна четверти длины окружности.

Длина дуги = (π * диаметр) / 4 = (π * 2 * радиус) / 4 = (π * 2 * 3√2) / 4 = (3π√2) / 2

Теперь найдем площадь соответствующего сектора. Площадь сектора можно найти, используя формулу:

Площадь сектора = (угол в центре / 360) * π * радиус^2

У нас угол в центре равен 90 градусов, поэтому:

Площадь сектора = (90 / 360) * π * (3√2)^2 = (1/4) * π * 18 = (9π) / 2

Таким образом, длина дуги составляет (3π√2) / 2, а площадь соответствующего сектора равна (9π) / 2.