Question

Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют. С рисунком.

Answer 1

Решение дано во вложении.

Answer 2

Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.

По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
$AB+CD=AD+BC$
Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
$AB=CD= \frac{4+16}{2} =10$

Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
$HK=4$; $AH=KD= \frac{16-4}{2} =6$

Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:
$BH= \sqrt{AB^2-AH^2} \\\ BH= \sqrt{10^2-6^2} =8$
Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
$r= \frac{BH}{2} = \frac{8}{2} =4$

Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
$AC= \sqrt{AK^2+CK^2} = \sqrt{(AH+HK)^2+CK^2} \\\ AC= \sqrt{(6+4)^2+8^2} = \sqrt{164} =2 \sqrt{41}$

Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:
$2R= \frac{CD}{\sin CAD}$
Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:
$\sin CAD=\sin CAD= \frac{CK}{AC}$
Выражаем R и подставляем выражение для синуса:
$R= \frac{CD}{2\sin CAD} =\frac{CD\cdot AC}{2 CK} \\\ R= \frac{CD}{2\sin CAD} =\frac{10\cdot 2 \sqrt{41} }{2 \cdot 8} =\frac{5 \sqrt{41} }{4}$

Ответ: радиус вписанной окружности $4$; радиус описанной окружности $\frac{5 \sqrt{41} }{4}$