Question

Помогите решить, пожалуйста !! Очень срочно!!! Даю много баллов!!!!!!!!! В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади треугольников АВК и КВС относятся как 1 : 3. ВС =10 см. Найдите АС , если ВС : АС=АК : КС.

Answer 1

Начнем с площадей. По условию, S abk / S kbc = 1 / 3. Выразив из искомого соотношения S kbc, получаем: S kbc = 3 * S abk. Распишем площади треугольников: S abk = 1/2 * BK * AK * sin(∠BKA). S kbc = 1/2 * BK * KC * sin(∠BKC). Получаем: 1/2 * BK * KC * sin(∠BKC) = 3 * 1/2 * BK * AK * sin(∠BKA). Синусы смежных углов BKC и BKA равны по определению, разделим обе части на 1/2 * BK. Получаем: KC = 3 * AK. Теперь перейдем ко второму соотношению: BC / AC = AK / KC. BC = 10, AC = AK+KC. Получаем: 10 /  (AK+KC) = AK/KC. Подставив KC =3 * AK, получается:           10 / (AK+3 * AK) = AK / (3 * AK) , 10 /  (4 * AK) = 1 / 3. Отсюда 4 * AK = 30, AK = 15 / 2. Тогда KC = 3 * (15/2) = 45/2. AC=AK+KC=(15/2)+(45/2)=60/2=30. Ответ: 30