Question

В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Касательная l к окружности, параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и Р соответственно.Известно, что периметр четырехугольника АТРС равен 30 см и АС = 12 см. Вычислите длину радиуса окружности (рисунок)

Answer 1

Четырёхугольник АЕРС - равнобедренная трапеция.

В трапецию можно вписать окружность в том случае, если суммы её противоположных сторон равны.

То есть AЕ + РC = ЕР + АC;
В случае выполнения данного равенства окружность можно вписать в трапецию и радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.

Радиус вписанной в трапецию окружности вычисляется по формуле:

                         r = h / 2 = √(bc) / 2                  ,

где  h - высота трапеции,
       b,c - основания трапеции.

Обозначим ЕР как х.

Тогда  (12 + х)*2 = 30,  12 + х = 15,   х = 15 - 12 = 3 см.

И получаем искомый радиус:

r = √(3*12) / 2 = √36 / 2 = 6 / 2 = 3 см.