Question

. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов. Доказать, что эта трапеция равнобокая

Answer 1

Пускай нам дана трапеция ABCD (ВС и АD - основания) ,
ее диагональ АС = ВС + AD
угол между диагоналями АС и ВD равен 60° 

Доказать, что АВСD - равнобедренная трапеция

Доказательство:
проведем из пункта В прямую к диагонали АС (пункт пересечения обозначим О), так, что ВС = СО

тогда АО = АС - СО = (ВС + AD) - ВС = AD 
имеем два равнобедренных треугольника ∆ВСО (ВС = СО) и ∆AOD (АО = AD)
<CBO = <COB (∆BCO- равнобедренный)
<AOD = <ADO (∆AOD- равнобедренный)
<BCO = <OAD (накрест лежащие) ==> <CBO = <COB = <AOD = <ADO

Раз <AOD = <BOC, а стороны АО и СО этих углов лежат на одной прямой, то <AOD  и  < BOC -вертикальные
и значит  ВО и OD лежат на одной прямой ==>
O - пункт пересечения диагоналей AC и BD

тогда <BOC = AOD = 60° (по условию)
<CBO = <COB = <AOD = <ADO = 60° 
<BCO = <OAD = 180 - <AOD - <ODA = 60° ==>
==> ∆BCO и ∆AOD - равносторонние

BC = CO = OB (∆BCO  - равносторонний)
AO = OD = AD (∆AOD - равносторонний) 
<BOA = <COD (вертикальные) ==>
==> ∆BOA = ∆COD (по двум сторонам и углу между ними)
 значит BA = CD
и делаем вывод, что ABCD - равнобедренная трапеция
всё =)