Question

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и угол BAD = Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Answer 1

Центр описанной вокруг треугольника окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров треугольника.

Треугольники АВD и BCD равны, т.к. параллелограмм делится диагональю ВD на два равных треугольника.

Радиусы описанных вокруг этих треугольников окружностей равны.

Проведем срединные перпендикуляры и найдем центры О и О1 описанных окружностей.
Соединив центры О и О1 с вершинами В и D параллелограмма, получим ромб
ВОDО1, т.к. его стороны - радиусы равных описанных окружностей, и диагонали пересекаются под прямым углом.
Его диагональ ОО1- искомое расстояние между центрами окружностей.

Угол ВОD центральный ( находится между двумя радиусами окружности с центром О) и равен удвоенному углу α, который является вписанным в эту окружность.

Сторона ромба = R

R=a:2 sin α
где а - диагональ BD параллелограмма
α — угол ромба, лежащий против стороны BD.

 

Ход решения:
1. Найти ВD по теореме косинусов
Найти сторону ОВ=R
Найти ОО1, диагональ ромба, - искомое расстояние -  по формуле
d=a√(2-2·cos α)=a√(2+2·cosβ)