Question

1)Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:А(-6;-4;0),В(6;-6;2),С(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD.2)Даны координаты вершин тетраэдра MABC: М(2;5;7), А(1;-3;2),В(2;3;7), C(3;6;0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника АВС.

Answer 1

Пусть координаты точки $D(x;y)$  , так как это параллелограмм ,  то у нее противоположенные стороны равны, иными словами BC=AD .  Тогда 
$BC=\sqrt{(10-6)^2+(0+6)^2+(4-2)^2}\\ AD=\sqrt{(x+6)^2+(y+4)^2+z^2}\\ \\ x=-2\\ y=2\\ z=2\\ \\ D(-2;2;2)$
Тогда угол между векторами АС и BD, рассмотрим векторы АС и BD, они имеют координаты 
$AC(16;4;4)\\ BD(-8;8;0)$
по формуле скалярного произведения векторов получаем 
$cosa=\frac{-128+32}{\sqrt{16^2+4^2+4^2}\sqrt{8^2+8^2+0^2}}=-\frac{1}{2}\\ a=120а$
Ответ к первой задачи координаты точки     D(-2;2;2)   a=120 гр 

2)
точка пересечения медиан - это среднее арифметическое всех точек , взятыъ по координатам соответственно 
$O(\frac{1+2+3}{3};\frac{-3+3+6}{3};\frac{2+7+0}{3}) = ( 2;2;3)\\ OM=\sqrt{(2-2)^2+(2-5)^2+(3-7)^2} =\sqrt{9+16} = 5$