Question

Докажите,что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Answer 1

После построения диагоналей АС и ВЕ имеем четыре прямоугольных треугольника АОВ, ВОС, СОЕ и АОЕ. Площадь АВСЕ может быть представлена суммой площадей всех четырех треугольников:
S АВСЕ = S1+S2+S3+S4
Зная, что площадь прямоугольного треуг-ка равна половине произведения его катетов, запишем:
S = 1/2*АО*ВО+1/2*ВО*СО+1/2*СО*ЕО+1/2*АО*ЕО
S= 1/2(АО*ВО+ВО*СО+СО*ЕО+АО*ЕО)
S= 1/2(ВО(АО+СО)+ЕО(СО+АО))
АО+СО=АС, тогда
S= 1/2(ВО*АС+ЕО*АС)
S= 1/2(АС(ВО+ЕО))
ВО+ЕО=ВЕ, тогда
S= 1/2(АС*ВЕ), что и требовалось доказать.