Question

Найти площадь параллелограмма диагонали которого равны 3 и 4 а острый угол 60

Answer 1

Пусть а - одна сторона пар-ма, b - вторая. Острый угол по условию 60 градусов, тогда тупой будет 120 градусов.
Тогда по теореме косинусов выразим диагонали пар-ма:
$\left \{ {{a^2+b^2-2abcos60^o=3^2} \atop {a^2+b^2-2abcos120^o=4^2}} \right. => \left \{ {{a^2+b^2-2ab* \frac{1}{2} =9} \atop {a^2+b^2-2ab*(-\frac{1}{2})=16}} \right. => \\ => - \left \{ {{a^2+b^2-ab =9} \atop {a^2+b^2+ab=16}} \right. \\ 2ab=7=> ab=7/2 \\ + \left \{ {{a^2+b^2-ab =9} \atop {a^2+b^2+ab=16}} \right. \\ 2a^2+2b^2=25=>a^2+b^2=25/2 \\ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=25/2+2*7/2=25/2+7=49/2 \\ a+b= \frac{7}{ \sqrt{2} }=>a= \frac{7}{ \sqrt{2} }-b \\ ab=7/2=>(\frac{7}{ \sqrt{2} }-b)b=7/2=>$
$b^2-7/ \sqrt{2}b+7/2=0 \\ D=49/4-14=49/4-48/4=1/4=(1/2)^2 \\ =>b_{1,2}= \frac{7/ \sqrt{2} \pm 1/2}{2}= \frac{7}{2 \sqrt{2} } \pm \frac{1}{4} \\ a_{1,2}= \frac{7}{ \sqrt{2} }-b=\frac{7}{ \sqrt{2} }-(\frac{7}{2 \sqrt{2} } \pm \frac{1}{4})=\frac{7}{ \sqrt{2} } \mp \frac{1}{4}$
$S_1= a_1b_1sin60^o= ( \frac{7}{2 \sqrt{2} } + \frac{1}{4})(\frac{7}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{4}) \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{ \sqrt{3} }{2}* \frac{14+ \sqrt{2} }{4 \sqrt{2} } * \frac{28- \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} } = \\ = \frac{ \sqrt{3} }{2} * \frac{390+14 \sqrt{2} }{32}= \frac{ \sqrt{3}(195+7 \sqrt{2} ) }{32}$
$S_2= a_2b_2sin60^o= ( \frac{7}{2 \sqrt{2} } - \frac{1}{4})(\frac{7}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{4}) \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{ \sqrt{3} }{2}* \frac{14- \sqrt{2} }{4 \sqrt{2} } * \frac{28+ \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} } = \\ = \frac{ \sqrt{3} }{2} * \frac{390-14 \sqrt{2} }{32}= \frac{ \sqrt{3}(195-7 \sqrt{2} ) }{32}$
Два варианта ответа, оба удовлетворяют условию.