Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.

Answer 1

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
                      R = (a + b - c)/2        где a и b катеты, с - гипотенуза, то:
 
    2 = (a + b - 13)/2
    2*2 = a + b - 13
     4 = a + b - 13
     a + b = 17        (1)

По теореме Пифагора: a² + b² = c²
    a² + b² = 169    (2)

Из (1) и (2) получаем:
    { а + b = 17 
    { a² + b² = 169

    { a = 17 - b
    { (17 - b)² + b² = 169 ,

     2b² - 34b + 289 = 169
     b² - 17b + 60 = 0              D = b²-4ac = 289-240 = 49

     b₁ = (-b+√D)/2a = 12 (см)        a₁ = 17 - b₁ = 5 (см) 
     b₂ = (-b- √D)/2a = 5 (см)          a₂ = 17 - b₂ = 12 (см)

Ответ: 12 cм, 5 см; 5 см, 12 см