Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30 градусов. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите объем пирамиды

Answer 1

SABC - пирамида. Δ АВС - прямоугольный , ∠ С =90° , A С=3.  ∠А =30° Найдём катет BС и гипотенузу АВ.  tg A=BC/AC ⇒ BC=AC·tg 30°   ⇒
BC=3·√3 / 3 =√3 .   BC=√3 . По т. Пифагора АВ=√АС²+ВС² = √3²+(√3)² =
√9+3 = √12 = √4·3 = 2 √3 .              АВ =2 √3 .
 Все боковые грани наклонены к плоскости основания по одним и тем
же углом 60° ⇒ Проекции всех боковых граней раны между собой , т.е проекцией вершины пирамиды является середина гипотенузы : 
АО=ВО=СО= R - радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника  R= AB/ 2= 2√3/2=√3
∠SAO=60°   Из  ΔSAO :  SO=AO·tg 60° ⇒ √3 · √3=3       H=SO=3
V=1/3·S(осн)·H=1/3 · 1/2 ·AC· BC· SO=1/6·3·√3· 3= 3·√3/2