Question

В прямоугольном треугольнике ABC ∟С= 90°,∟.A = 30°, АС = 10 см, CD ┴.АВ, DE ┴АС. Найдите АЕ. а) 8 см; б) 6 см; в) 5 см; г) 7,5 см.

Answer 1

Треугольник СДА - прямоугольный (т.к. СД-перпендикуляр), СД-катет лежащтй против угла в 30*, значит СД=1/2АС=5см. Угол АДС=90-30=60*. Треугольник СДЕ - прямоугольный (т.к. ДЕ-перпендикуляр), значит Угл СДЕ=90-60=30*. СЕ-катет лежащий против угла в 30*, значит СЕ=1/2СД=2,5см.АЕ=АС-СЕ=10-2,5=7,5см.
Ответ:г.

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, угол A равен 30°, и АС равно 10 см.

Также, у нас есть точка D, которая лежит на гипотенузе AB и перпендикулярна ей (CD ⊥ AB), и точка E, которая лежит на стороне AC и перпендикулярна ей (DE ⊥ AC).

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ACD. У нас есть два угла: ∠C равен 90°, а ∠A равен 30°. Тогда третий угол, ∠D, можно найти, вычитая сумму углов A и C из 180°:

\[ \angle D = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 30° - 90° = 60°. \]

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник CDE с углами ∠C равным 90°, ∠D равным 60°, и ∠E равным 30°.

Теперь, рассмотрим треугольник CDE. Мы знаем, что DE ⊥ AC, и у нас есть два угла: ∠CDE равен 90° и ∠CED равен 30°. Тогда ∠C будет равен 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).

Теперь, у нас есть два равнобедренных треугольника внутри треугольника ABC: CDE и ACD. Оба этих треугольника имеют углы 30°, 60° и 90°. Также, сторона AC общая для обоих треугольников.

Теперь давайте найдем длину AE. Пусть AE = x.

В треугольнике CDE, по теореме о синусах:

\[\frac{CE}{DE} = \sin(\angle C) = \sin(60°).\]

Также, в треугольнике ACD, по теореме о синусах:

\[\frac{CE}{AC} = \sin(\angle A) = \sin(30°).\]

Используя эти два уравнения, мы можем выразить CE через x:

\[CE = DE \cdot \sin(60°) = AC \cdot \sin(30°).\]

Теперь можем записать уравнение для AE:

\[AE = AC - CE = AC - AC \cdot \sin(30°).\]

Теперь подставим значение AC, которое равно 10 см:

\[AE = 10 - 10 \cdot \sin(30°).\]

Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[AE = 10 - 10 \cdot \frac{1}{2} = 10 - 5 = 5 \, \text{см}.\]

Таким образом, правильный ответ: в) 5 см.