Question

Три равные окружности радиуса r попарно касаются одна другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания. Решите, пожалуйста. подробно.

Answer 1

О1, О2, О3 - центры окружностей.
Треугольник О1О2О3 - равносторонний, его сторона равна 2r. Тогда площадь этого треугольника равна (2r)^2*V3 / 4 = r^2*V3
Площадь одного сектора равна pi*r^2 / 6
Таких секторов образовано три. Значит, площадь трех секторов равна pi*r^2 / 2
Тогда площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, будет равна разности между площадью треугольника О1О2О3 и площадью трех секторов. А это равно r^2*V3 - pi*r^2 / 2 = 0,5*(2V3 - pi)*r^2

Answer 2

Дана задача на вычисление площади фигуры, образованной тремя равными окружностями радиуса \( r \), которые попарно касаются друг друга. Давайте решим эту задачу.

1. Нарисовать схему: Для начала нарисуем схему, чтобы лучше понять геометрическую конфигурацию задачи. Пусть центры окружностей будут \( A \), \( B \) и \( C \), а радиус каждой окружности будет \( r \). Точки касания обозначим как \( D \), \( E \) и \( F \). Фигура, образованная дугами между точками касания, обозначена \( S \).

        B
        |
      / | \
     /  |  \
  E/---A---\D
     \  |  /
      \ | /
        C
   

2. Найти центр описанной окружности: Обратим внимание, что центры \( A \), \( B \) и \( C \) образуют равносторонний треугольник. Таким образом, центр описанной окружности будет совпадать с центром этого треугольника. Обозначим центр описанной окружности как \( O \).

3. Найти угол: Угол между радиусами описанной окружности и точками касания равен \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \).

4. Вычислить площадь сегмента круга: Площадь сегмента круга можно вычислить по формуле: \( S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \), где \( \theta \) - центральный угол в радианах.

В данном случае \( \theta = 120^\circ \), что равно \( \frac{2\pi}{3} \) радиан.

\[ S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2}r^2\left(\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3}\right) \]

5. Умножить на количество сегментов: Так как у нас три одинаковых сегмента, образованных дугами между точками касания, умножим площадь одного сегмента на три.

\[ S = 3 \cdot S_{\text{сегмента}} \]

Теперь давайте подставим значения и вычислим площадь \( S \).