Question

На рисунке изображены два треугольника ΔABC и ΔMANпричем угол ∠BAC∠BAC =∠AMN∠AMN , ∠C =∠N =90°Найти NM если известно, что AN=19 , BC=57 , AC=108.

Answer 1

ΔABC и ΔMAN
∠BAC =∠AMN, ∠C =∠N =90°  по условию
⇒  ΔABC подобен ΔMAN по двум углам
⇒
$\frac{57}{19} = \frac{108}{NM} \\ \\ NM = \frac{19*108}{57} =36$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему синусов. В данном случае она выглядит следующим образом:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - противолежащие им углы.

Найдем сначала сторону mn. Нам известны значения углов ∠bac и ∠amn, они равны друг другу. Также углы ∠c и ∠n равны 90 градусам.

Тогда получаем:

sin(∠bac) = sin(∠amn) = nm / an

nm = an * sin(∠bac)

Подставим значения: an = 19, ∠bac = 90 градусов

nm = 19 * sin(90) = 19 * 1 = 19

Теперь найдем сторону bc. Применим теорему синусов для треугольника Δabc:

bc/sin(∠bac) = ac/sin(∠abc)

bc/1 = 108 / sin(∠abc)

bc = 108 * sin(∠abc)

Из уравнения sin(∠abc) = sin(90 - ∠bac) = sin(∠n) = sin(90) = 1 следует:

bc = 108 * 1 = 108

Теперь мы знаем значения сторон bc и nm. Осталось найти сторону mn, применив теорему Пифагора для треугольника Δmnc:

mn^2 = bc^2 + nm^2 mn^2 = 108^2 + 19^2 mn^2 = 11664 + 361 mn^2 = 12025 mn = √12025 mn = 109

Таким образом, значение стороны mn равно 109.