Question

В тетраэдре ABCD отрезки, соединяющие его вершины с центрами вписанных окружностей противоположных граней, пересекаются в одной точке. Известно, что AB=8, BC=5, CD=7. Найдите DA.

Answer 1

Очень смешная задачка, меня порадовала.
Пусть точка пересечения упомянутых в условии отрезков - это точка M.
Предположим, что я построил плоскость ACM.
Тогда центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит в этой плоскости (потому что этот центр лежит на прямой AM), и следовательно, в этой плоскости лежит биссектриса угла BCD.
Точно также, в этой плоскости ACM лежит центр окружности, вписанной в треугольник ABD (как "конец" отрезка CM), и, следовательно, в плоскости ACM лежит биссектриса угла DAB.
Ну, значит, эти биссектрисы имеют общую точку (конец) на отрезке BD.
Что означает, в частности, что AD/AB = CD/CB;
AD = AB*CD/CB = 8*7/5 = 11,2

Я кучу времени потратил, пытаясь выяснить, не являются ли стороны тетраэдра касательными к одной сфере, но это оказалось ложным следом (и неверно!)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами тетраэдра и вписанных окружностей.

Пусть \(O_1, O_2, O_3, O_4\) - центры вписанных окружностей, соответствующих граням \(ABC, ACD, ABD, BCD\) соответственно. Также пусть \(M_1, M_2, M_3, M_4\) - середины рёбер \(BC, CD, DA, AB\) соответственно.

Из условия задачи известно, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами вписанных окружностей противоположных граней, пересекаются в одной точке. Это означает, что точка пересечения этих отрезков является центром вписанной окружности тетраэдра. Таким образом, точка пересечения отрезков \(AO_1, BO_3, CO_2, DO_4\) - это центр вписанной окружности тетраэдра.

Теперь обратим внимание на четырехугольник \(O_1O_2O_3O_4\). Так как это выпуклый четырехугольник, сумма углов этого четырехугольника равна \(360^\circ\). Отсюда мы можем выразить угол \(\angle O_1O_2O_3\) через углы треугольников \(\triangle O_1O_2M_2\) и \(\triangle O_1O_3M_3\):

\[\angle O_1O_2O_3 = 360^\circ - \angle O_1O_2M_2 - \angle O_1O_3M_3.\]

Однако, так как \(M_2\) и \(M_3\) - середины соответственных сторон, углы \(\angle O_2M_2O_1\) и \(\angle O_3M_3O_1\) равны половине углов \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\) соответственно.

Теперь, зная, что углы вписанного треугольника равны половине углов стоящих в центре окружности, мы можем выразить углы \(\angle O_1O_2M_2\) и \(\angle O_1O_3M_3\) следующим образом:

\[\angle O_1O_2M_2 = \frac{1}{2}\angle BAC\] \[\angle O_1O_3M_3 = \frac{1}{2}\angle CAD\]

Подставим эти значения в формулу для \(\angle O_1O_2O_3\):

\[\angle O_1O_2O_3 = 360^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC - \frac{1}{2}\angle CAD.\]

Теперь обратим внимание на треугольник \(ABC\). Известно, что \(AB = 8\), \(BC = 5\), и \(CA = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}\). Также из теоремы косинусов:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA}.\]

Подставим известные значения:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{5^2 + (\sqrt{89})^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{89}}.\]

Теперь выразим углы \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\):

\[\angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{5^2 + (\sqrt{89})^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{89}}\right).\]

Так как углы \(\angle O_1O_2O_3\) и \(\angle CAD\) равны половине углов \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\) соответственно, мы можем выразить \(\angle CAD\) следующим образом:

\[\angle CAD = 2 \cdot \arccos\left(\frac{5^2 + (\sqrt{89})^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{89}}\right).\]

Теперь подставим значение \(\angle CAD\) в формулу для \(\angle O_1O_2O_3\):

\[\angle O_1O_2O_3 = 360^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \arccos\left(\frac{5^2 + (\sqrt{89})^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{89}}\right).\]

Вычислим это значение:

\[\angle O_1O_2O_3 = 360^\circ - \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{5^2 + (\sqrt{89})^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{89}}\right).\]

Теперь, так как угол в четырехугольнике \(O_1O_2O_3O_4\) равен сумме углов \(\angle O_1O_2O_3\) и \(\angle O_1O_3O_2\), где \(\angle O_1O_3O_2\) также равен \(\angle O_1O_2O_3\), получим:

\[\angle O_1O_2O_3 = \frac{1}{2}\angle O_1O_3O_2 = \frac{1}{2}\angle O_1O_2O_3.\]

Э