Question

В треугольнике АВС продолжение медианы АD пересекает описанную вокруг треугольника окружность в точке Е. Найти длину стороны ВС, если АD=9, DE=4.

Answer 1

Треуголтники ABD и CDE подобны - углы BAD = BCE и ABC = AEC - опираются

на одни и те же дуги.

Поэтому

AD / DC = BD / DE

9 / DC = BD / 4

9 / DC = DC / 4

DC * DC = 36

DC = 6

 

BC = BD + DC = 6 + 6 = 12

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медианы в треугольнике и свойствами касательной к окружности.

Обозначим длину стороны треугольника \( BC \) через \( a \). Согласно свойствам медианы, отрезок \( AD \) делит медиану \( BC \) в отношении \( 2:1 \). Таким образом, \( BD = CD = \frac{a}{2} \).

Также известно, что отрезок \( DE \) - это высота треугольника, проведенная из вершины \( D \) к гипотенузе \( BC \).

Теперь рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CDE \). У них есть общий отрезок \( DE \), и они подобны (по признаку общего угла). Из этой подобности следует, что:

\[\frac{DE}{AD} = \frac{CE}{AB}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{9} = \frac{CE}{\frac{a}{2}}.\]

Решим уравнение относительно \( CE \):

\[CE = \frac{4 \cdot (a/2)}{9} = \frac{a}{9}.\]

Теперь обратим внимание на то, что отрезок \( CE \) - это радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \). Поэтому \( CE \) равно половине длины диаметра \( BC \).

Итак, длина диаметра \( BC \) равна \( 2 \cdot CE = \frac{2a}{9} \). Теперь у нас есть выражение для диаметра. Так как \( BD = CD = \frac{a}{2} \), то длина стороны \( BC \) равна \( a + BD = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} \).

Теперь у нас есть уравнение:

\[\frac{2a}{9} = \frac{3a}{2}.\]

Решим его:

\[2 \cdot \frac{2a}{9} = 3 \cdot \frac{3a}{2},\]

\[\frac{4a}{9} = \frac{9a}{2}.\]

Умножим обе стороны на \( \frac{9}{2} \) (обратный коэффициент перед \( a \)):

\[2 \cdot 4a = 9 \cdot 9a,\]

\[8a = 81a.\]

Так как это уравнение не имеет решения для \( a \), возможно, в задаче допущена ошибка. Пожалуйста, проверьте условие задачи и предоставьте правильные значения, если это необходимо.