Question

Продолжения равных хорд АВ и СD окружности соответственно за точки В и С пересекаются в точке Р. Докажите, что треугольник АРD равнобедренный.

Answer 1

Предлагаю решение во вложении

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть окружность с равными хордами \(AB\) и \(CD\), и эти хорды пересекаются в точке \(P\). Мы хотим доказать, что треугольник \(ARD\) является равнобедренным.

1. Рассмотрим две хорды \(AB\) и \(CD\). Поскольку они равны, и точка их пересечения \(P\) находится внутри окружности, то центр окружности лежит на середине отрезка \(BC\) (половина хорды \(AB\)) и на середине отрезка \(CD\). Обозначим центр окружности как \(O\).

2. Теперь рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(OCD\). У них по две стороны равны (\(OA = OC\) и \(OB = OD\)), и третья сторона \(AB\) равна стороне \(CD\) (по условию). Следовательно, эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне (SSS).

3. Так как треугольники \(OAB\) и \(OCD\) равны, то и у них равны соответствующие углы. В частности, угол \(\angle AOB\) равен углу \(\angle COD\).

4. Рассмотрим теперь треугольники \(OAD\) и \(OBD\). У них по одной стороне равны (\(OA = OB\)), сторона \(OD\) равна самой себе, и у них равны углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOD\) (поскольку они дополняют угол \(\angle AOB\)).

5. Теперь, с учетом того, что \(OA = OB\), \(OD = OD\) и \(\angle AOD = \angle BOD\), треугольники \(OAD\) и \(OBD\) равны по стороне-стороне-углу (SSA).

6. Из равенства треугольников следует, что стороны, противолежащие равным углам, также равны. Таким образом, \(AD = BD\).

7. Теперь рассмотрим треугольник \(ARD\). Мы только что установили, что \(AD = BD\), а углы при основании (\(\angle A\) и \(\angle B\)) равны. Следовательно, треугольник \(ARD\) является равнобедренным, так как у него две равные стороны и равные углы при основании.

Таким образом, треугольник \(ARD\) равнобедренный, что и требовалось доказать.