Question

Окружность вписана в треугольник. Точки касания делят окружность на дуги с градусными мерами 135, 135 и 90 градусов. Найдите углы треугольника

Answer 1

Треугольник АВС, точки касания треугольника и вписанной окружности - К на стороне АВ, М на стороне ВС и АС на стороне АС.
Градусные меры дуг: НК=135°, КМ=135° и МН=90°.
Стороны треугольника являются касательными к окружности.
Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Следовательно <А=(дуга КМН-дуга КН)/2=(135+90-135)/2=45°.
<В=(дуга МНК-дуга КМ)/2=(90+135-135)/2=45°.
<С=(дуга НКМ-дуга МН)/2=(135+135-90)/2=90°.
Ответ: 45°, 45°, 90°

Answer 2

Для нахождения углов треугольника, в котором вписана окружность, и которая касается окружности в трех точках, нужно воспользоваться свойствами треугольников и окружностей.

Давайте обозначим следующие величины:

1. Пусть A, B и C - это вершины треугольника, в котором вписана окружность. Точки касания окружности с треугольником обозначим как D, E и F, где D - это точка касания с стороной BC, E - с AC, F - с AB. 2. Также обозначим O центр окружности.

Известно, что углы, образованные при касании окружности с её дугой, равны половине градусной меры этой дуги. Таким образом:

- Угол ADO равен половине дуги, которая составляет 135 градусов, то есть 135/2 = 67.5 градусов. - Угол BEO равен половине дуги, которая также составляет 135 градусов, то есть 67.5 градусов. - Угол CFO равен половине дуги, которая составляет 90 градусов, то есть 45 градусов.

Теперь мы знаем углы, образованные при касании окружности с сторонами треугольника. Осталось найти углы самого треугольника. Для этого используем свойство, которое гласит, что угол между касательной к окружности и радиусом, проведенным к точке касания, равен углу между этим радиусом и хордой окружности, проходящей через точку касания. В данном случае, радиусы AO, BO и CO равны, так как это радиусы одной и той же окружности.

Таким образом:

- Угол ADB (где D - точка касания на стороне BC) равен углу ABC (где B - вершина треугольника), так как радиус AO пересекает сторону BC под углом ADB. - Аналогично, угол AEC равен углу ACB, и угол BFA равен углу BAC.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

- Угол ADB = Угол ABC - Угол AEC = Угол ACB - Угол BFA = Угол BAC

Теперь мы можем выразить углы треугольника через углы при касании окружности:

- Угол A = Угол ADB + Угол AEC = Угол ABC + Угол ACB - Угол B = Угол BFA + Угол BDB = Угол BAC + Угол ABC - Угол C = Угол CFO + Угол CEA = 45 + 67.5 = 112.5 градусов

Таким образом, угол C равен 112.5 градусов, а остальные углы треугольника можно выразить через углы при касании окружности и стороны треугольника.