Question

Вариант 1. 1)На рис.1 отрезки АВ и СД имеют общую середину О.Докажите, что< ДАО= <СВО. 2)Луч АД - биссектриса угла А.На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что <АДВ=<АДС. Докажите, что АВ=АС. 3)Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ1 к боковой стороне АС.

Answer 1

1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC =  BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине)
значит, треугольник AOC =  равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO =  равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

2
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию,  угол BDA  = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Значит,  треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)

Answer 2

Задача 1: Докажите, что

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и их пересечениями.

Дано: отрезки AB и CD имеют общую середину O.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AOB и треугольник COD. Они имеют общую вершину O и общую сторону AO=OC (по условию, отрезки AB и CD имеют общую середину O).

2. Также, AB || CD (AB параллельно CD), так как они имеют общую середину O.

3. Из свойства параллельных прямых следует, что угол AOB = угол COD (AOB и COD являются соответственно внутренними и внешними при общей стороне углами).

4. Так как угол AOB = угол COD и угол DAO = угол SVO (углы, смежные с равными углами равны), получаем, что

Таким образом, доказано, что

Задача 2: Докажите, что AV = AC, если

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами биссектрисы угла.

Дано: луч AD - биссектриса угла A, и

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ADV и треугольник ADS. Они имеют общую вершину A и общую сторону AD.

2. По условию,

3. Из свойства биссектрисы угла следует, что отрезки AV/AS и DV/DS делят соответственно угол ADV и угол ADS пополам.

4. Поскольку угол ADV = угол ADS (по условию), то отрезки AV/AS и DV/DS делят соответственно угол ADV и угол ADS пополам.

5. Это означает, что углы AVD и ASD равны.

6. Так как углы AVD и ASD равны, а сторона AD общая, по свойству равенства треугольников следует, что AV = AS.

Таким образом, доказано, что AV = AC, если

Задача 3: Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. С помощью циркуля и линейки проведите медиану BB1 к боковой стороне AC.

1. Начните с построения треугольника ABC с основанием BC. 2. Разместите конец циркуля в точке B и нарисуйте дугу, пересекающую сторону AC в точках D и E. 3. С помощью линейки соедините точку D с точкой E. 4. Проведите линию, проходящую через точку B и середину отрезка DE. 5. Пусть середина отрезка DE называется F. Тогда линия BF будет медианой треугольника ABC, проведенной к стороне AC в точку F. 6. В результате вы получите равнобедренный треугольник ABC с проведенной медианой BB1.