Question

1)Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда.2)Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним.3)Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равна a. Постройте сечение куба, проходящее через точки B1, D и середину ребра A1A и найдите его площадь.

Answer 1

задача 1

1) исходя из условия, что относятся как 6/6/7 (как длина/ширина/высота), то AB=BC=CD=AD=6, ABCD - квадрат. 

2) диагональ нижней и верхней грани, а миенно квадрата, равна "а" корень из 2, где "а" - сторона квадрата. Следовательно AC=6 корней из 2

3) С1С=7

     BC=6

     из т. Пифагора найдем C1D= корень из85

Ответ: AB1=B1C=C1D=A1D=корень из 85 

             B1D=BD=6корней из 2

             

задача 2

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые не лежат в одной плоскости не параллельны одна другой и не пересекаются, они называются скрещивающимися.

наименьшее ребро 2, а именно  СС1=DD1=AA1=BB1=2

скрещивающиеся прямые тут - AD и CD , например, а расстояние и естьAD = 4

задача3 

середіна AA1 - L, если не ошибаюсь сечение есть треугольник B1CD 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда.

Пусть a, b и c - измерения параллелепипеда, причем a:b:c = 6:6:7.

Известно, что диагональ параллелепипеда (d) связана с его измерениями a, b и c следующим образом: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Подставим a:b:c = 6:6:7: \[ d = \sqrt{36x^2 + 36x^2 + 49x^2} = \sqrt{121x^2} = 11x \]

Отсюда \( x = \frac{d}{11} \).

Теперь найдем диагонали граней параллелепипеда. Грани параллелепипеда имеют размеры a:b, b:c и a:c. Таким образом, диагонали граней равны: \[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36x^2 + 36x^2} = \sqrt{72x^2} = \sqrt{72} \cdot \frac{d}{11} \]

\[ d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{36x^2 + 49x^2} = \sqrt{85x^2} = \sqrt{85} \cdot \frac{d}{11} \]

\[ d_3 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{36x^2 + 49x^2} = \sqrt{85x^2} = \sqrt{85} \cdot \frac{d}{11} \]

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним.

Пусть a, b и c - измерения параллелепипеда, причем a ≤ b ≤ c. В данном случае, a = 2, b = 4, c = 4.

Наибольшая диагональ грани, скрещивающейся с наименьшим ребром (a), равна: \[ d_{max} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \]

Расстояние от наименьшего ребра до этой диагонали: \[ \text{Расстояние} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{32 - 2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{28} \]

3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Постройте сечение куба, проходящее через точки B1, D и середину ребра A1A и найдите его площадь.

Сначала построим сечение. Середина ребра A1A будет точкой M. Также, соединим точки B1 и D. Получим треугольник B1DM.

Теперь, найдем площадь этого треугольника. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - BD) \cdot (p - BM) \cdot (p - DM)} \]

где \( p = \frac{BD + BM + DM}{2} \).

Площадь сечения: \[ S = \sqrt{\frac{BD + BM + DM}{2} \cdot \left(\frac{BD + BM + DM}{2} - BD\right) \cdot \left(\frac{BD + BM + DM}{2} - BM\right) \cdot \left(\frac{BD + BM + DM}{2} - DM\right)} \]

Теперь, если a - длина ребра куба, то BD = a и BM = DM = \(\frac{a}{2}\).

\[ S = \sqrt{\frac{a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2} \cdot \left(\frac{a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2} - a\right) \cdot \left(\frac{a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2} - \frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2} - \frac{a}{2}\right)} \]

Упрощаем и вычисляем.

\[ S = \sqrt{\frac{a + a + a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2} \cdot \frac{a^2}{2}} = \frac{a^2}{2} \]

Таким образом, площадь сечения куба равна \(\frac{a^2}{2}\).