Question

В прямоугольном треугольнике один катет длиннее другого на 3, а площадь равна 18, найдите длину гипотенузы

Answer 1

ΔABC , ∠C=90°  . Пусть АС= х ⇒ АВ = х+3
S = 1/2 AC·BC = !/ 2 x(x+3)  ⇒ 18 ·2 = x²+ 3x    ⇒ x²+3 x = 36  ⇒
x²+3 x - 36 = 0      D = b² - 4 a c  =  9 - 4 ·1· (-36)=9+144=153 ⇒
x1 3-√153 = 3 -3√17  < 0  (не подходит)
x2 = 3 + 3 √17   Итак , АС = 3 + 3 √17         АВ =  6 + 3 √17
АВ √ АС² + АВ² = √ (3 + 3 √17 ) ²+ ( 6 + 3 √17)²  =
√9 + 18 √17 + 9 ·17 + 36 + 36√17 + 9·17 = √45 + 54 √17 + 153 =
√198 + 54√17 3   =  3√ 22+6√17

Answer 2

Пусть один катет треугольника равен x, а другой катет равен x + 3.

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, у нас есть следующее уравнение:

(1/2) * x * (x + 3) = 18

Раскрываем скобки:

(1/2) * (x^2 + 3x) = 18

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

x^2 + 3x = 36

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

x^2 + 3x - 36 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можно попытаться разложить его на множители, но в данном случае это не сработает. Поэтому воспользуемся квадратным корнем:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 3 и c = -36:

x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * -36)) / (2 * 1)

x = (-3 ± √(9 + 144)) / 2

x = (-3 ± √153) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

x₁ = (-3 + √153) / 2 ≈ 3.6

x₂ = (-3 - √153) / 2 ≈ -6.6

Так как длина не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень и получаем, что длина одного катета треугольника равна примерно 3.6.

Теперь, чтобы найти длину гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора:

гипотенуза^2 = катет^2 + катет^2

гипотенуза^2 = (3.6)^2 + (3.6 + 3)^2

гипотенуза^2 = 12.96 + 38.56

гипотенуза^2 = 51.52

гипотенуза ≈ √51.52 ≈ 7.18

Таким образом, длина гипотенузы примерно равна 7.18.