Question

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке К. Найдите DK, если ВС=12

Answer 1

Я формулировку теоремы не стала удалять (повторить всегда полезно))
но она и не пригодилась...
1/ отрезки касательных, проведенных из одной точки (К) равны...
DK=KC
2/ центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла))
ОК - биссектриса ∠DKC
∠DKO = ∠CKO
∠DOK = ∠COK
3/ вписанный угол равен половине градусной меры центрального, опирающегося на ту же дугу
∠DAC (опирается на дугу DC) = (1/2)∠DOC = ∠KOC
т.е. DA || KO
О --середина АС ---> KO --средняя линия, К --середина ВС
DK = KC = (1/2)BC = 6

Answer 2

Дано: - Окружность с диаметром АС - Касательная ВС, которая касается окружности в точке С - Отрезок АВ, который пересекает окружность в точке D - Касательная, проведенная через точку D, которая пересекает отрезок ВС в точке К - Длина ВС = 12

Шаг 1: Найдем длину отрезка АС

Так как АС - диаметр окружности, то длина диаметра равна удвоенной длине радиуса. Поэтому, длина отрезка АС равна длине радиуса умноженной на 2.

Шаг 2: Найдем длину отрезка СD

Так как ВС - касательная, а D - точка пересечения отрезка АВ с окружностью, то отрезок СD является высотой, опущенной на диаметр АС. В прямоугольном треугольнике СAD, где AC - гипотенуза, а CD - высота, применим теорему Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Так как длина АС известна (из первого шага), а точка D находится на окружности, то AD равно половине длины АС (так как AD - радиус окружности).

Шаг 3: Найдем длину отрезка КD

Так как К - точка пересечения касательной, проведенной через точку D, с отрезком ВС, то отрезок КD является высотой, опущенной на отрезок ВС. В прямоугольном треугольнике КCD, где ВС - гипотенуза, а КD - высота, применим теорему Пифагора:

ВС^2 = КD^2 + CD^2

Так как длина ВС известна (равна 12, по условию), а длина CD была найдена на предыдущем шаге, мы можем найти длину КD.

Шаг 4: Расчет

Поэтапно выполним вычисления:

Шаг 1: Найдем длину отрезка АС: Пусть радиус окружности равен r, тогда длина АС = 2r.

Шаг 2: Найдем длину отрезка СD: AD = AC/2 = r/2 (половина длины АС) Используем теорему Пифагора для нахождения длины CD: AC^2 = AD^2 + CD^2 (2r)^2 = (r/2)^2 + CD^2 4r^2 = r^2/4 + CD^2 16r^2 = r^2/4 + CD^2 63r^2/4 = CD^2 CD = sqrt(63r^2/4) = (3√7r)/2

Шаг 3: Найдем длину отрезка КD: Используем теорему Пифагора для нахождения длины КD: ВС^2 = КD^2 + CD^2 12^2 = КD^2 + (3√7r/2)^2 144 = КD^2 + 63r^2/4 144 - 63r^2/4 = КD^2 576 - 63r^2 = 4КD^2 4КD^2 = 576 - 63r^2 КD^2 = (576 - 63r^2)/4 KD = sqrt((576 - 63r^2)/4) = sqrt(144 - 63r^2/4) = sqrt(36 - 63r^2/16) = (3√(4 - 7r^2))/4

Итак, мы получили выражение для длины отрезка DK в зависимости от радиуса r. Если в задаче указана длина ВС (равная 12), мы можем подставить это значение в полученное выражение для KD и вычислить конкретное значение для DK.