Question

1) Отрезок BD диаметр окружности с центром О. Хорда AC делит пополам радиус OB и перпендикуляр к нему. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC,CD,AB 2) Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей

Answer 1

1)

Пусть К - точка пересечения хорды AC и диаметра BD.

OK=KB=R\2

OA=OB=OC=OD=R=AB=BC

AD=BD=корень((корень(3)*R\2)^2+(3*R\2)^2)=корень(3)*R

AK=BK=корень(3)\2*R

cos (KOA)=(R\2)\R=1\2

угол KOA=угол OBA=угол OBC=60 градусов

угол ФИС=60+60=120 градусов

В выпуклом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

поэтому угол ADB=180-120=60 градусов

Угол BAD= углу BCD=180\2=90 градусов

градусные меры дуг AB, BC, CD, AD... соотвественно равны углвой мере углов AOB(=60 градусов), BOC (=60 градусов), COD(180-60=120 градусов)

AOD (=120 градусов)

Answer 2

1) Для нахождения углов четырехугольника ABCD воспользуемся свойством, что сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов.

Угол BAD равен половине угла BOD, так как хорда AC делит пополам радиус OB и перпендикуляр к нему. То есть угол BAD равен 1/2 * (180 - угол BOD).

Угол BCD равен половине угла BOD, так как хорда AC делит пополам радиус OB и перпендикуляр к нему. То есть угол BCD равен 1/2 * (180 - угол BOD).

Угол ADC равен 180 - угол BCD, так как сумма углов в треугольнике ADC равна 180 градусов.

Таким образом, угол ABC равен 180 - угол BCD.

2) Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла при основании. То есть она делит угол при вершине на два равных угла. Так как высота равна 9 см, то это значит, что биссектриса делит угол при вершине на два угла по 9 градусов каждый.

Таким образом, угол между сторонами равнобедренного треугольника равен 18 градусов.

Для вписанной окружности радиус будет равен половине стороны основания треугольника деленной на тангенс половины угла при вершине. То есть радиус = (24/2) / tan(18/2).

Для описанной окружности радиус будет равен половине стороны основания треугольника деленной на синус угла при вершине. То есть радиус = (24/2) / sin(18).