Question

Помогите срочно. Биссекирисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M рааноудалена от прямых AB, AD, CD.

Answer 1

АМ и ДМ - биссектрисы углов А и Д. МЕ и МН - расстояния от точки М до прямых АВ и АД. Значит нужно доказать, что МЕ = МН.
(Рисунок не совсем качественный получился, но для решения пойдет)
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Значит тр-ки АЕМ и АНМ прямоугольные. У них гипотенуза АМ общая, а углы ЕАМ = НАМ так как АМ - биссектриса. Значит тр-ки АЕМ = АНМ по гипотенузе и острому углу. Из равенства тр-ков следует равенство их соответствующих сторон, т.е. МЕ = МН, что и требовалось доказать.

Р.С. Этого всего можно было и не делать, так как есть теорема, что любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Answer 2

Для доказательства того, что точка M удалена от прямых AB, AD и CD, мы можем воспользоваться теоремой Биссектрисы.

По условию, точка M лежит на стороне BC трапеции ABCD и пересекает биссектрисы углов A и D. Пусть точка пересечения с биссектрисой угла A обозначается как P, а точка пересечения с биссектрисой угла D обозначается как Q.

Так как точка M лежит на биссектрисе угла A, то отрезок MP равен отрезку MQ, так как M расположена на равном расстоянии от сторон AB и AD трапеции ABCD. Аналогично, отрезок MP равен отрезку MQ, так как M расположена на равном расстоянии от сторон BC и CD трапеции ABCD.

Таким образом, отрезок MP равен отрезку MQ и одновременно равен отрезку MP', где P' - точка пересечения сторон AB и CD. То есть, все эти отрезки равны друг другу.

Из этого следует, что точка M расположена на перпендикулярной биссектрисе угла A, проходящей через точку пересечения сторон AB и CD.

Таким же образом можно доказать, что точка M расположена на перпендикулярной биссектрисе угла D, проходящей через точку пересечения сторон AB и CD.

Таким образом, точка M расположена на двух перпендикулярных биссектрисах углов A и D, которые пересекаются в точке пересечения сторон AB и CD. Это означает, что точка M находится на пересечении прямых AB и CD, а также на пересечении прямых AD и BC.

Следовательно, точка M находится на пересечении прямых AB, AD и CD, что и требовалось доказать.