Question

В конус вписан шар объемом 2. найдите объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником.

Answer 1

Объём шара:

V = 4/3πR³ ⇒ R = ∛3V/4π = ∛3·2/4·3.14 = ∛6/12.56 = 0.77

R - 1/3 высоты, следовательно:

Н = 3·0.77 = 2.31

Найдём радиус основания - катет плоскости прямоугольного треугольника (высота в равностороннем треугольнике делит его на два прямоугольных).Так как треугольник равносторонний, то все углы по 60 град, следовательно найдём катет изходя из формулы

Н/а = tg60 град ⇒ а = Н / tg60 град = 2.31/1.73 = 1.33

Значит радиус основания r = а = 1.33,исходя из этого найдём площадь основания,как площадь круга(окружности):

S = πR² = 3.14· 1.33² = 5.55

Объём конуса:

V = 1/3·S·H = 1/3·5.55·2.31 = 4.27

 

 

Answer 2

Чтобы найти объем конуса, вписанного в шар объемом 2, нужно воспользоваться формулой для объема конуса:

V = (1/3) * pi * r^2 * h,

где V - объем конуса, r - радиус его основания, h - высота конуса.

Для начала найдем высоту h конуса. Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, т.е. все его стороны равны между собой. Пусть a - длина стороны треугольника.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам, поэтому используем формулу для площади равностороннего треугольника:

S = (a^2 * √3) / 4,

где S - площадь треугольника, √3 - корень из 3.

Так как осевое сечение конуса является треугольником, то площадь основания конуса равна площади этого треугольника. По условию, площадь треугольника равна 2, тогда:

2 = (a^2 * √3) / 4,

умножим обе части уравнения на 4/√3:

(4/√3) * 2 = a^2,

8√3/3 = a^2,

a^2 = 8√3/3.

Теперь можем найти радиус основания конуса r. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной основания конуса, его радиусом и высотой h:

(h/2)^2 + r^2 = a^2,

(h^2)/4 + r^2 = 8√3/3.

Теперь можем найти высоту конуса h:

h^2 + 4r^2 = 32√3/3,

h^2 = 32√3/3 - 4r^2.

После нахождения высоты конуса, мы можем найти его объем V:

V = (1/3) * pi * r^2 * h.

Производить численные рассчеты для нахождения объема конуса можно, если известны значения радиуса r и высоты h, которые можно найти только с учетом конкретных численных данных задачи.