Question

А) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 13 см. Знайдіть катети,якщо периметр трикутника дорівнює 60 см. б) З вершини прямого кута прямокутного трикутника до гіпотенузи проведено медіану та висоту, довжини яких відповидно дорівнюють 25 та 24 см. Обчисліть периметр трикутника.

Answer 1

1)Дан прямоугольный треугольник АВС: угол С-прямой. Медиана прямоугольного треугольника равна радиусу описанной окружности, а гипотенуза - диаметр этой окружности. Поэтому гипотенуза АВ=26 см.
АВ+ВС+АС=60, тогда АВ+ВС=60-26=34.
Пусть АВ=х, тогда ВС=34-х
По теореме Пифагора  х²+(34-х)²=26²
х²-34х+240=0,
D=b²-4ac=(-34)²-4·240=196=14²
x₁=(34+14)/2      х₂=(34-14)/2
х₁=24                 х₂=10
Тогда другой катет соответственно 34-24=10 или 34-10=24

2) Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, С- прямой угол. СЕ- медана, СЕ=25.
СК-высота, СК=24.
Гипотенуза прямоугольного треугольника-диаметр описанной окружности. Радиус описанной окружности равен медиане.
АВ=50.
Из прямоугольного треугольника СКЕ: КЕ²=СЕ²-СК²=25²-24²=49=7²
КЕ=7,
КА=7+25=32, тогда АС²=24²+32²=1600=40²
АС=40
ВК=50-32=18
ВС²=ВК²+СК²=18²+24²=900=30²
ВС=30
Ответ АС=40, ВС=30, АВ=50. Р=120 см.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання окремо:

a) Знайдення катетів прямокутного трикутника, де медіана до гіпотенузи дорівнює 13 см.

Позначимо катети трикутника через \(a\) та \(b\), а гіпотенузу через \(c\). За теоремою Піфагора відомо, що \(a^2 + b^2 = c^2\).

Також відомо, що медіана, проведена до гіпотенузи, розбиває її на дві рівні частини. Тобто, якщо \(m\) - медіана, то \(c/2 = m\).

За умовою завдання \(m = 13\), тому \(c = 2m = 26\).

Тепер можемо записати теорему Піфагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Підставимо значення \(c\):

\[a^2 + b^2 = 26^2\]

Також відомо, що периметр трикутника \(P\) дорівнює сумі всіх його сторін: \(P = a + b + c\). За умовою \(P = 60\), тому:

\[a + b + 26 = 60\]

Отже, маємо систему двох рівнянь:

\[a^2 + b^2 = 26^2\] \[a + b + 26 = 60\]

Розв'яжемо цю систему для знаходження значень \(a\) та \(b\).

b) Знайдення периметра трикутника, де проведено медіану та висоту.

Позначимо висоту через \(h\).

Також за теоремою Піфагора відомо, що в кожному прямокутному трикутнику \(a^2 + b^2 = c^2\).

За умовою завдання відомо, що висота \(h = 24\) та медіана \(m = 25\).

Медіана поділяє гіпотенузу пополам, тому \(c/2 = m\), звідки \(c = 2m\).

Підставимо значення \(c\) у теорему Піфагора:

\[a^2 + b^2 = (2m)^2\]

Знову відомо, що периметр трикутника \(P\) дорівнює сумі всіх його сторін: \(P = a + b + c\). За умовою \(P = 60\).

Розв'яжемо систему для знаходження значень \(a\) та \(b\).

Якщо є конкретні числові значення для \(m\), \(h\) і інших величин, можна провести обчислення. Якщо немає конкретних числових значень, можна залишити відповіді у вигляді виразів з величинами \(m\), \(h\) і т. д.