Question

В треугольнике две медианы равны. Докажите, что данный треугольник равнобедренный. Как доказать это БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ формулы для нахождения медианы?

Answer 1

Предлагаю посмотреть на рисунок).

Расмотрим трапецию образованную основание треугольника и средней линией, медианы являются диогоналями. Ясно понятно что трапеция равнобедренная ( диогонали равны) => треугольник равнобедренный

Answer 2

Щоб довести, що треугольник є рівнобедреним, можна скористатися наступним доказом: Припустимо, що у треугольнику АВС дві медіани АМ і ВН, які є рівними. Розглянемо трикутник АМВ. Оскільки медіани поділяються відповідно у два рази, то точка перетину медіан (центр тяжості) Г лежить на відрізку АН, в середині його. Розглянемо трикутник АВГ. Оскільки ВН є медіаною, то вона розділяє відрізок АМ на дві рівні частини. З цього випливає, що кут ВАГ дорівнює куту ВГА. Аналогічно, розглянувши трикутник АГС, можна довести, що кут АГС дорівнює куту ГСА. Оскільки сума кутів у кутовому полі дорівнює 180 градусам, то отримали, що кути А Г С та у треугольнику АВС співпадають, тобто треугольник є рівнобедреним.