Question

В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке М так, что AM в 4 раза больше MD. Найдите длины сторон параллелограмма, если его периметр 36 см. Рисунок обязателен.

Answer 1

Биссектриса ВМ угла параллелограмма АВСД отсекает от него равнобедренный треугольник АВМ (АВ=АМ).
По условию АМ=4МД или МД=АМ/4
Значит АД= АМ+МД=АМ+АМ/4=5АМ/4
Периметр параллелограмма Р=2(АВ+АД)=2(АМ+5АМ/4)=9АМ/2=4,5АМ
АМ=Р/4,5=36/4,5=8 см
Тогда стороны АВ=СД=8см
АД=ВС=5*8/4=10 см
Ответ 8см, 10см, 8см, 10см

Answer 2

Пусть AM равно x, тогда MD равно 0.25x, так как AM в 4 раза больше MD. Также, учитывая, что AM является биссектрисой угла B, то BM равно x и DM равно 0.25x.

Поскольку ABCD - параллелограмм, то AB равно CD и BC равно DA.

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон:

36 = AB + BC + CD + DA

Так как AB = CD и BC = DA, то можно записать:

36 = 2AB + 2BC

Также, из треугольника AMD можно записать:

AD = AM + MD = x + 0.25x = 1.25x

Таким образом, DA = 1.25x.

Возвращаясь к уравнению периметра, получаем:

36 = 2AB + 2BC

36 = 2AB + 2DA

36 = 2AB + 2(1.25x)

36 = 2AB + 2.5x

Разделим оба выражения на 2:

18 = AB + 1.25x

18 = AB + 2.5x

18 - 2.5x = AB

Теперь вспомним, что AB = CD, поэтому AB = CD = 18 - 2.5x

Также, BM = x, тогда BC = x.

Из треугольника HMB можно записать:

BM^2 + MH^2 = BH^2

x^2 + (1.25x)^2 = BH^2

1.5625x^2 + 1.5625x^2 = BH^2

3.125x^2 = BH^2

Замечаем, что BH = CD = 18 - 2.5x

Таким образом, 3.125x^2 = (18 - 2.5x)^2

9.765625x^2 = 324 - 90x + 6.25x^2

3.515625x^2 + 90x - 324 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, дискриминанта или квадратного корня.

После решения квадратного уравнения, найденные значения x подставляем в выражения для AB, BC, CD и DA, чтобы найти длины сторон параллелограмма.

Рисунок параллелограмма, где AM в 4 раза больше MD: A _________ B / \ / \ M _________ D