Question

периметры двух подобных треугольников 24 и 36, а площадь одного из них на 10 больше площади другого. Найти площадь меньшего треугольника

Answer 1

k=36:24=1,5
k^2*S1=S2=S1+10
2,25*S1-S1=10
S1=8

Answer 2

Обозначим стороны меньшего треугольника за a, b ,c . Тогда стороны большего будут ka,kb,kc.

a+b+c=24

k(a+b+c)=36

разделим второе уравнение на первое:

k=36/24 = 3/2

Квадрат коэффициента подобия будет равен отношению площадей подобнх треугольников. Обозначим площадь меньшего треугольника за х, тогда площадь второго будет х+10

(x+10)/x=9/4

По основному свойству пропорции:

4x+40=9x

5x=40

x=8

Значит площадь меньшего треугольника равна 8.

Ответ: 8

Answer 3

Пусть \( a \) и \( b \) — соответственно, стороны меньшего и большего треугольников. Так как треугольники подобны, то отношение любых двух сторон в одном треугольнике равно соответствующему отношению в другом.

Мы знаем, что периметр меньшего треугольника равен 24, а периметр большего — 36. Так как периметр равен сумме всех трех сторон, у нас есть следующее уравнение:

\[ a + b + c = 24 \]

\[ ka + kb + kc = 36 \]

где \( k \) — коэффициент подобия (отношение любой стороны меньшего треугольника к соответствующей стороне большего).

Также нам дано, что площадь одного из треугольников на 10 больше площади другого. Обозначим площадь меньшего треугольника через \( S \), а площадь большего через \( kS \).

Так как площадь треугольника можно выразить через его стороны по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \( p \) — полупериметр, равный \( \frac{a+b+c}{2} \).

Тогда у нас есть следующее уравнение для отношения площадей:

\[ kS = S + 10 \]

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

1. Уравнение для периметра:

\[ a + b + c = 24 \]

2. Уравнение для периметра с учетом подобия:

\[ ka + kb + kc = 36 \]

3. Уравнение для отношения площадей:

\[ kS = S + 10 \]

Это система из трех уравнений с тремя неизвестными (\( a, b, c \)). Решив ее, мы найдем значения сторон меньшего и большего треугольников. После этого можно будет легко найти площадь меньшего треугольника.