Question

Sin2a+cos2a=1 доказать

Answer 1

Пусть в треугольнике a и b - катеты, а с - гипотенуза.
Пусть угол А - угол, противолежащий стороне а.
Тогда по определению синуса и косинуса:
sinA = a/c
cosA = b/c
sin²A + cos²A = (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1
P.s.: a² + b² = c² - по теореме Пифагора.

Answer 2

Чтобы доказать равенство sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу, известную как тождество Пифагора. Это тождество является одним из основных результатов в тригонометрии.

Тождество Пифагора

Тождество Пифагора утверждает, что для любого угла "a" в радианах, справедливо следующее равенство:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Это тождество можно интерпретировать как соотношение между квадратами синуса и косинуса угла "a" и единицей.

Доказательство

Докажем это равенство, используя геометрическую интерпретацию тригонометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом "a". Пусть гипотенуза этого треугольника равна 1.

Шаг 1: Рассмотрим отрезок на гипотенузе, который является высотой, опущенной из вершины треугольника на противоположный катет (смежный катет). Обозначим этот отрезок как "x".

Шаг 2: Используя определение sin и cos в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить sin(a) и cos(a) следующим образом:

sin(a) = x/1 = x cos(a) = (1 - x)/1 = 1 - x

Шаг 3: Теперь мы можем вычислить квадраты sin(a) и cos(a):

sin^2(a) = (x)^2 = x^2 cos^2(a) = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2

Шаг 4: Сложим квадраты sin(a) и cos(a):

sin^2(a) + cos^2(a) = x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 - 2x + 1

Шаг 5: Теперь мы хотим показать, что это равно 1:

2x^2 - 2x + 1 = 1 2x^2 - 2x = 0 2x(x - 1) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 1.

Заключение

Мы доказали, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 для любого угла "a" в радианах. Это тождество Пифагора является фундаментальным результатом в тригонометрии и имеет множество приложений в математике и науке.