Question

1) В параллелограмме ABCD угол С=120 градусам. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке К, лежащей на стороне AD, СК=3. Найдите площадь параллелограмма.2) Сторона АВ треугольника АСВ равна 15 корней из 3. На стороне ВС взята точка К так, что ВК=9 корней из 3, КС=16 корней из 3 и треугольники АВС и КАС подобны. Найдите сторону АС и отношение площадей подобных треугольников.

Answer 1

Параллелограмм АВСД, уголС=уголА=120, уголВ=уголД=180-120=60, ВК и СК биссектрисы, СК=3, уголВСК=уголКСД=120/2=60, уголВСК=уголСКД как внутренние разносторонние, треугольник КСД - равносторонний - все углы=60, СК=СД=КД=3, уголАВК=уголКВС=уголВ/2=60/2=30, уголКВС=уголАКВ как внутренние разносторонние=30, треугольникАВК равнобедренный, АВ=АК=СД=3, АД=АК+КД=3+3=6, проводим высоту СН, СН=КД*корень3/2=3*корень3/2, площадь АВСД=АД*СН=6*3*корень3/2=9*корень3

Answer 2

1) Площадь параллелограмма:

В параллелограмме угол C равен 120 градусам, и известно, что биссектрисы углов B и C пересекаются в точке K, лежащей на стороне AD, причем CK = 3.

Поскольку CK является биссектрисой угла C, то треугольник BCK равнобедренный, и угол BCK равен углу CKB. Также угол BCK равен половине угла C (по свойству биссектрисы). Следовательно, угол CKB равен 60 градусам.

Теперь мы знаем, что в треугольнике BCK угол B равен 60 градусам. В параллелограмме смежные углы дополняют друг друга до 180 градусов. Таким образом, угол A параллелограмма равен 180 - 60 = 120 градусам.

Так как углы A и C параллелограмма равны, то параллелограмм ABCD - ромб. Далее, поскольку CK = 3, а угол BCK равен 60 градусам, то треугольник BCK - равносторонний, и BC = CK = 3.

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, можно воспользоваться формулой для площади ромба:

\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба. В данном случае диагонали BC и AD равны между собой, поэтому

\[ S = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{3 \cdot AD}{2} \]

2) Сторона AC и отношение площадей подобных треугольников:

Сторона AB треугольника ABC равна 15 корня из 3. Треугольники ABV и BCK подобны (по правилу AA, так как углы ABV и BCK равны), поэтому отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{BV}{CK} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{15\sqrt{3}}{3} = \frac{BV}{3} \]

Отсюда находим, что BV = 15.

Теперь, рассмотрим треугольники ABV и KAC. Они подобны (по правилу AA), и отношение их сторон равно отношению соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{KA} = \frac{BV}{KC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{15\sqrt{3}}{KA} = \frac{15}{16\sqrt{3}} \]

Решая уравнение относительно KA, получаем \( KA = 48 \).

Таким образом, сторона AC равна сумме KA и KC: \( AC = KA + KC = 48 + 16\sqrt{3} \).

Отношение площадей треугольников ABC и KAC равно квадрату отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{KAC}} = \left( \frac{AB}{KA} \right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{KAC}} = \left( \frac{15\sqrt{3}}{48} \right)^2 \]

Вычислите это значение для получения отношения площадей.