Question

Дан треугольник с вершинами A(3;5) B(-3;4) C (-2;1). Найдите углы треугольника.P.S. Если можно то с полным решением...

Answer 1

Вот решение. Все подробно.

Answer 2

Чтобы найти углы треугольника, можно воспользоваться теоремой косинусов. Для каждого угла \( A, B, C \) применяется следующая формула:

\[ \cos(\angle A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

где \( a, b, c \) - стороны треугольника, противолежащие углам \( A, B, C \) соответственно.

Для начала, найдем длины сторон треугольника по координатам вершин.

Длина стороны \( AB \): \[ AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} \]

Длина стороны \( BC \): \[ BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}} \]

Длина стороны \( AC \): \[ AC = \sqrt{{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}} \]

В данном случае:

\[ AB = \sqrt{{(-3 - 3)^2 + (4 - 5)^2}} = \sqrt{{36 + 1}} = \sqrt{37} \]

\[ BC = \sqrt{{(-2 + 3)^2 + (1 - 4)^2}} = \sqrt{{1 + 9}} = \sqrt{10} \]

\[ AC = \sqrt{{(-2 - 3)^2 + (1 - 5)^2}} = \sqrt{{25 + 16}} = \sqrt{41} \]

Теперь, применяя теорему косинусов, найдем каждый из углов.

1. Угол \( \angle A \): \[ \cos(\angle A) = \frac{{BC^2 + AC^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot AC}} \] \[ \cos(\angle A) = \frac{{10 + 41 - 37}}{{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{41}}} \] \[ \cos(\angle A) = \frac{{14}}{{2 \sqrt{410}}} \] \[ \angle A = \cos^{-1}\left(\frac{{14}}{{2 \sqrt{410}}}\right) \]

2. Угол \( \angle B \): \[ \cos(\angle B) = \frac{{AC^2 + AB^2 - BC^2}}{{2 \cdot AC \cdot AB}} \] \[ \cos(\angle B) = \frac{{41 + 37 - 10}}{{2 \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{37}}} \] \[ \cos(\angle B) = \frac{{68}}{{2 \sqrt{1517}}} \] \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\frac{{68}}{{2 \sqrt{1517}}}\right) \]

3. Угол \( \angle C \): \[ \cos(\angle C) = \frac{{AB^2 + BC^2 - AC^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} \] \[ \cos(\angle C) = \frac{{37 + 10 - 41}}{{2 \cdot \sqrt{37} \cdot \sqrt{10}}} \] \[ \cos(\angle C) = \frac{{6}}{{2 \sqrt{370}}} \] \[ \angle C = \cos^{-1}\left(\frac{{6}}{{2 \sqrt{370}}}\right) \]

Таким образом, теперь можно вычислить углы \( \angle A, \angle B, \) и \( \angle C \) при помощи арккосинуса (cos^{-1}).