Question

В правильной четырёхугольной призме каждая из сторон основания равна 4. Через диагональ основания под углом 45 градусов к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения

Answer 1

Сечение - равнобедренный треугольник.
Его проекция на основание - прямоугольный треугольник с катетами по 4 и гипотенузой d = 4√2.
Высота его равна h = 4*cos45 = 4*(√2/2) = 2√2.
Так как эта высота равна проекции высоты рассматриваемого сечения, то последняя равна Н = h/cos 45 = 2√2/(√2/2) = 4.
Искомая площадь равна S = (1/2)*d*H = (1/2)*(4√2)*4 = 8√2 = = 11,31371 кв.ед.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть у нас есть четырёхугольная призма с основанием в форме квадрата, где каждая сторона квадрата равна 4. Обозначим сторону квадрата через \( a \). Поскольку каждая сторона основания равна 4, то \( a = 4 \).

Теперь, проведем диагональ \( BD \) основания под углом 45 градусов к плоскости основания. Обозначим середину этой диагонали как точку \( O \). Так как это квадрат, \( BD \) также является диагональю, и \( BO = OD \).

Теперь рассмотрим треугольник \( BOD \). Этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником (поскольку угол \( BOD \) равен 90 градусов, а углы \( B \) и \( D \) равны 45 градусов каждый). Таким образом, у нас есть:

\[ BO = OD = \frac{BD}{\sqrt{2}} \]

Теперь давайте рассмотрим сечение плоскости, проходящей через диагональ \( BD \) и пересекающей боковое ребро. Это сечение представляет собой треугольник, в основании которого лежит отрезок \( BD \), а высота равна расстоянию от вершины этого треугольника (точки \( O \)) до бокового ребра.

Поскольку у нас равнобедренный прямоугольный треугольник \( BOD \), то высота этого треугольника равна \( BO \), и её можно выразить как \( \frac{BD}{\sqrt{2}} \).

Таким образом, площадь сечения будет равна половине произведения основания и высоты треугольника:

\[ \text{Площадь сечения} = \frac{1}{2} \times BD \times BO \]

Подставим выражения для \( BD \) и \( BO \):

\[ \text{Площадь сечения} = \frac{1}{2} \times BD \times \frac{BD}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим значение \( BD \). Так как \( BD \) - диагональ квадрата, то \( BD = a\sqrt{2} \):

\[ \text{Площадь сечения} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

Упростим это выражение:

\[ \text{Площадь сечения} = \frac{1}{2} \times a^2 \]

Теперь подставим значение \( a = 4 \):

\[ \text{Площадь сечения} = \frac{1}{2} \times 4^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \]

Таким образом, площадь сечения равна 8 квадратным единицам.