Question

Треугольник АВС вписан в окружность, угол АВС равен 60 градусов. Найдите величину дуги АВ, если дуга АВ равна двум дугам ВС.

Answer 1

Обозначит дугу АВ за 2х, а ВС за х
т.к. угол В вписанный дуга АС=120
составляем уравнение 
2х+х+120=360
3х=240
х=80- дуга ВС
дуга АВ= 80*2=160

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг в окружности. Пусть \( \angle ABC = 60^\circ \), а дуга \( \widehat{AVB} \) (дуга AB) равна двум дугам \( \widehat{BVC} \) (дуга BC).

1. Свойство центрального угла и вписанного угла: Если угол вписан в окружность, его мера равна половине меры соответствующего центрального угла.

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{мера}(\widehat{AVB}) \]

2. Свойство вписанного угла и дуги: Мера вписанного угла равна половине меры соответствующей дуги.

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{мера}(\widehat{AVB}) \]

3. Свойство вписанного угла и дуги: Меры двух вписанных углов равны мерам соответствующих дуг.

\[ \angle BAC = \angle BCA \implies \text{мера}(\widehat{AVB}) = \text{мера}(\widehat{BVC}) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{мера}(\widehat{AVB}) \\ \text{мера}(\widehat{AVB}) = 2 \cdot \text{мера}(\widehat{BVC}) \end{cases} \]

Из первого уравнения получаем:

\[ \frac{1}{2} \cdot \text{мера}(\widehat{AVB}) = 60^\circ \]

Отсюда мера дуги \( \widehat{AVB} \) равна \( 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).

Таким образом, дуга \( \widehat{AVB} \) равна \( 120^\circ \), и это искомая величина дуги \( \widehat{AB} \).