Question

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 11 см, а боковое ребро 14 см. Найти. 1) Высоту пирамиды, 2) угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания, 3) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Answer 1

==========================================

Answer 2

Конечно, давай разберем по порядку.

У нас есть правильная четырехугольная пирамида, в которой сторона основания равна 11 см, а боковое ребро 14 см.

1) Для нахождения высоты пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный половиной бокового ребра, высотой и радиусом вписанной окружности основания (который равен половине длины диагонали основания). По теореме Пифагора:

\[ h^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

где \( h \) - высота пирамиды, \( r \) - радиус вписанной окружности основания, \( a \) - сторона основания.

Радиус вписанной окружности правильной четырехугольной пирамиды равен половине диагонали основания, то есть \( r = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{4} \).

Подставим значения:

\[ h^2 = \left(\frac{a \cdot \sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ h^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{16} + \frac{a^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{3a^2}{16} \]

Теперь подставим значение для \( a = 11 \) см:

\[ h^2 = \frac{3 \cdot 11^2}{16} = \frac{363}{16} \] \[ h = \sqrt{\frac{363}{16}} \approx 7.56 \, \text{см} \]

Таким образом, высота пирамиды примерно равна 7.56 см.

2) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания, в правильной пирамиде равен тому же углу, который образуется между боковой гранью и ребром основания. Этот угол можно найти, используя тангенс угла:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}} = \frac{\text{высота}}{\text{половина стороны основания}} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a} \]

Подставим значения:

\[ \tan(\theta) = \frac{2 \times 7.56}{11} \approx 1.38 \]

Теперь найдем угол, зная его тангенс:

\[ \theta = \arctan(1.38) \approx 53.13^\circ \]

Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания примерно равен \( 53.13^\circ \).

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между боковым ребром и осью пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде это угол равносторонний.

Следовательно, угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет \( 60^\circ \).