Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, каково должно быть его основание ,чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Answer 1

х- угол при вершине

h=2cosx/2

d/2=2sinx/2

S=h*d/2=2cosx/2sinx/2=sinx

S'=cosx

S'=0 x=π/2

S(π/2)=1; S(0)=0;S(π)=0

наибольшая площадь при x=π/2 при этом основание

d/2=2sinx/2=2sin π/4=√2

d=2√2

отв 2√2

Answer 2

Для того чтобы найти основание равнобедренного треугольника при известной боковой стороне, нужно знать определённое соотношение сторон такого треугольника. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны одинаковы (обозначим их как a), а третья сторона (основание) может быть обозначена как b.

Существует теорема о том, что высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Исходя из этой теоремы, можно найти значение высоты треугольника и использовать формулу для площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами \( a \) и \( \frac{b}{2} \) (половина основания равнобедренного треугольника) можно выразить высоту \( h \):

\[ a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 \]

Теперь можно решить это уравнение относительно \( h \):

\[ h^2 = a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 \] \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} \]

Площадь треугольника будет равна \( S = \frac{1}{2} \times b \times h \), теперь можно выразить площадь через \( b \) и найти максимум.

\[ S = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} \]

Чтобы найти максимальное значение этой функции, можно взять производную площади по \( b \) и приравнять её к нулю:

\[ \frac{dS}{db} = \frac{1}{2} \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} - \frac{b^2}{\sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}} \times \frac{1}{2} \times \frac{2b}{2} = 0 \]

Теперь решите это уравнение для \( b \), чтобы найти, при каком значении \( b \) площадь будет наибольшей. Таким образом, можно найти оптимальное значение основания для максимальной площади равнобедренного треугольника при известной боковой стороне.