Question

Докажите,что сумма медиан треугольника меньше его периметра

Answer 1

Если есть стороны a b и медиана m1 к третьей стороне c, то можно ДОСТРОИТЬ этот треугольник до параллелограмма, если продолжить медиану на свою длину (за точку пересечения со стороной c), и соединить полученную точку с концами a и b.
В этом параллелограмме диагонали с и 2*m1, а стороны a и b. 
Теперь очевидно, что a + b > 2*m1;
Точно так же показывается b + c > 2*m2; a + c > 2*m3;
Если сложить левые и правые части этих неравенств, получается требуемое неравенство (a + b + c) > (m1 + m2 + m3); 

Answer 2

Для доказательства того, что сумма медиан треугольника всегда меньше его периметра, давайте рассмотрим следующие понятия:

1. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 2. Периметр треугольника - это сумма длин его трех сторон.

Пусть \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(m_a\), \(m_b\), и \(m_c\) - соответствующие медианы. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Длина медианы \(m_a\) равна половине длины стороны \(a\). 2. Длина медианы \(m_b\) равна половине длины стороны \(b\). 3. Длина медианы \(m_c\) равна половине длины стороны \(c\).

Теперь давайте рассмотрим сумму медиан:

\[ m_a + m_b + m_c = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b + c}{2} \]

Это выражение представляет собой половину периметра треугольника. Таким образом, сумма медиан треугольника всегда равна половине его периметра.

Допустим, периметр треугольника равен \(P\), тогда:

\[ m_a + m_b + m_c = \frac{P}{2} \]

Поскольку \(\frac{P}{2}\) всегда меньше \(P\), мы можем заключить, что сумма медиан треугольника всегда меньше его периметра.