Question

Найдите координаты точки В, симметричной точке А(2; 7; 1) относительно плоскости х - 4у + z + 7 = 0.

Answer 1

Вектор нормали плоскости $(1; -4;1)$

Уравнение прямой, которая проходит через точку A перпендикулярно заданной плоскости
$\frac{x-2}{1}=\frac{y-7}{-4}=\frac{z-1}{1}$

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
$x=t+2; \\ y=7-4t; \\ z=t+1 \\ \\ t+2 -4 \cdot (7-4t)+t+1+7=0; \ \ 2t+10 -28+16t=0; \\ 18t-18=0; \ \ t-1=0; \ \ t=1; \\ \\ x=3; \\ y=3; \\ z=2$
$M(3; 3;2)$


$M$ — середина отрезка $AB$

$x_M=\frac{2+x_B}{2}; \ \ y_M = \frac{7 + y_B}{2}; \ \ z_M=\frac{1+z_B}{2} \\ \\ \frac{2+x_B}{2}=3; \ \ \frac{7 + y_B}{2}=3; \ \ \frac{1+z_B}{2}=2; \\ x_B=4; \ \ y_B=-1; \ \ z_B=3 \\ \\ B(4; -1;3)$

Answer 2

Для нахождения координат точки B, симметричной точке A(2, 7, 1) относительно плоскости x - 4y + z + 7 = 0, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем уравнение плоскости, перпендикулярной данной плоскости. Это можно сделать, используя коэффициенты перед x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае, коэффициенты перед x, y и z равны 1, -4 и 1 соответственно. Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид: x - 4y + z = d, где d - неизвестное значение, которое мы должны найти.

2. Подставим координаты точки A(2, 7, 1) в уравнение плоскости, чтобы найти значение d: 2 - 4(7) + 1 = d -26 = d

3. Теперь мы знаем уравнение плоскости, перпендикулярной данной плоскости: x - 4y + z = -26.

4. Чтобы найти координаты точки B, симметричной точке A относительно этой плоскости, мы можем использовать следующую формулу: B = A - 2n, где n - вектор нормали к плоскости.

5. Найдем вектор нормали к плоскости, используя коэффициенты перед x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае, вектор нормали будет иметь вид: n = (1, -4, 1).

6. Подставим значения координат точки A и вектора нормали в формулу B = A - 2n: B = (2, 7, 1) - 2(1, -4, 1) = (2, 7, 1) - (2, -8, 2) = (2 - 2, 7 - (-8), 1 - 2) = (0, 15, -1)

Таким образом, координаты точки B, симметричной точке A(2, 7, 1) относительно плоскости x - 4y + z + 7 = 0, равны (0, 15, -1).