Question

В окружность вписаны правильные треугольник и четырёхугольник. Периметр треугольника равен 6 корень из 6 см . Найдите периметр четырехугольника.

Answer 1

1) т.к. Это правильный треугольник, сторона = 2корень из 6.
2) сторона треугольника совпадает со стороной квадрата, значит периметр квадрата= 8корень из 6

Answer 2

Давайте обозначим через \( R \) радиус окружности, вписанной в треугольник. Также, обозначим сторону вписанного равностороннего треугольника через \( a \). Так как треугольник равносторонний, его периметр равен \( 3a \).

Периметр четырехугольника равен сумме всех его сторон. Давайте обозначим стороны четырехугольника через \( a, b, c, d \).

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов четырехугольника равна \( 180^\circ \). Это означает, что углы \( A \) и \( C \) равны между собой, а также углы \( B \) и \( D \) равны между собой.

Так как треугольник вписан в окружность, мы можем воспользоваться теоремой о вписанном угле, которая гласит, что угол, соответствующий половине дуги, равен половине центрального угла. Таким образом, угол \( A \) в четырехугольнике соответствует углу \( A' \) в треугольнике. Аналогично для углов \( B \), \( C \), и \( D \).

Таким образом, углы в четырехугольнике будут следующими: \[ A = A', \quad B = B', \quad C = C', \quad D = D' \]

Теперь мы знаем, что у треугольника \( A' + B' + C' = 180^\circ \). Так как треугольник равносторонний, угол \( A' \) равен \( 60^\circ \). Таким образом, углы в четырехугольнике тоже равны \( 60^\circ \) каждый.

Теперь у нас есть равносторонний треугольник и равносторонний четырехугольник. Периметр треугольника равен \( 3a \), и по условию он равен \( 6 \sqrt{6} \) см.

\[ 3a = 6 \sqrt{6} \]

Теперь найдем сторону треугольника \( a \):

\[ a = 2 \sqrt{6} \]

Так как углы в четырехугольнике тоже равны \( 60^\circ \), то этот четырехугольник можно разбить на три равносторонних треугольника. Таким образом, периметр четырехугольника будет равен утроенной длине стороны треугольника:

\[ P_{\text{четырехугольника}} = 3 \cdot a = 3 \cdot 2 \sqrt{6} = 6 \sqrt{6} \]

Таким образом, периметр четырехугольника также равен \( 6 \sqrt{6} \) см.