Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD – ромб со стороной 6 см и углом A = 60º. Высота параллелепипеда 9 см. Найдите угол между плоскостью BC1D и плоскостью основания.

Answer 1

//////////////////////////

Answer 2

Для нахождения угла между плоскостью \( BC1D \) и плоскостью основания прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA1B1C1D1 \), давайте разберем его конструкцию.

Поскольку \( ABCD \) - ромб, то угол между его диагоналями будет \( 60^\circ \). Также, так как \( ABCD \) - ромб, то диагонали \( AC \) и \( BD \) будут перпендикулярными и делиться пополам.

Дано: Сторона ромба \( ABCD = 6 \) см. Высота параллелепипеда \( h = 9 \) см.

Сначала найдем длину диагонали \( AC \) ромба \( ABCD \).

Так как \( ABCD \) - ромб, сторона \( AB = 6 \) см. Рассмотрим треугольник \( ABD \). В этом треугольнике угол между сторонами \( AB \) и \( BD \) (то есть угол \( ABD \)) равен \( 60^\circ \) (так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам). Также, \( AB = BD = 6 \) см (так как это сторона ромба). Теперь можем использовать косинусную теорему для нахождения длины диагонали \( AC \) ромба \( ABCD \):

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABD) \]

Заметим, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), тогда:

\[ AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 36 + 36 - 36 = 36 \] \[ AC = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Теперь мы знаем, что \( AC = 6 \) см. Это также является диаметром основания параллелепипеда. Поэтому треугольник \( ABC \) в основании параллелепипеда является равносторонним.

Теперь, для нахождения угла между плоскостью \( BC1D \) и плоскостью основания, можно рассмотреть треугольник \( BC1 \) в основании параллелепипеда. Так как это равносторонний треугольник, то угол между \( BC \) и \( C1B \) будет \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \).

Таким образом, угол между плоскостью \( BC1D \) и плоскостью основания будет \( 120^\circ \).