Question

Если высота правильной треугольной пирамиды равна h а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом альфа, то объем пирамиды равен?

Answer 1

Речь идет об угле между гранью и основанием. Проведите апофему из вершины пирамиды на боковое ребро. Соедините проекцию точки вершины пирамиды на ее основание и точку пересечения апофемы с боковым ребром. Получится прямоугольный треугольник. В нем нижний катет равен 1/3 высоты основания (медианы в треугольнике....). Он равен h*ctg(alpha). Тогда высота основания равна утроенной величине. Далее рассматривается прямоугольный треугольник, образованный высотой основания. В нем противолежащий высоте угол равен 60 градусам. Тогда сторона треугольника это 3h*ctg(alpha)/sin60 градусов. У вас теперь все есть для нахождения объема пирамиды. Ответ:
$\sqrt{3} h^{3} ctg^{2} (alpha)$

Answer 2

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

S = (sqrt(3) * a^2) / 4,

где a - длина стороны основания пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды, нам нужно знать длину стороны основания пирамиды (a) и угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания (альфа).

Из геометрических соображений, можно заметить, что боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником со сторонами a, h и гипотенузой l, где l - длина боковой грани пирамиды. Также, угол альфа является углом между стороной a и гипотенузой l.

Используя тригонометрические соотношения, можно найти длину боковой грани пирамиды l:

l = a / cos(альфа).

Теперь, имея длину боковой грани пирамиды (l), мы можем найти площадь основания пирамиды (S) и объем пирамиды (V) по вышеуказанным формулам.

В итоге, объем пирамиды равен (1/3) * ((sqrt(3) * a^2) / 4) * h.