Question

Через точку P, лежащую внутри окружности и удаленную на 7 от центра, проходит хорда окружности. Точка P делитэту хорду на отрезки длиной 6 и 12. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Пусть хорда пересекает окружность в точках А и В, причем АР = 12, а ВР = 6. Центр окружности - точка О. Тогда отрезок ОР = 7.
Соединим центр окружности О с точками А и В. Тогда АО = ВО = R (радиус окр.) Угол АРО = х, а угол ВРО - 180 - х
По теореме косинусов
в тр-ке АОР имеем R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx. (1)
в тр-ке ВОР имеем R^2 = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx. (2)
Приравниваем правые части выражений (1) и (2)
12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx
12^2 - 6^2 = 12*7*3cos x/
7cos x = 3
cos x = 3/7
Из выражения (1) имеем
R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7* 3/7
R^2 = 121
R = 11

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Предположим, что радиус окружности равен r, а координаты точки P - (x, y).

2. Мы знаем, что точка P лежит внутри окружности и находится на расстоянии 7 от ее центра. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения значения x и y: x^2 + y^2 = 7^2

3. Также мы знаем, что точка P делит хорду на два отрезка длиной 6 и 12. Поскольку хорда проходит через точку P и центр окружности, она проходит через точку (0, 0). Расстояние от центра до точки P равно 7, поэтому мы можем записать: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 7^2

4. Теперь у нас есть два уравнения: x^2 + y^2 = 7^2 x^2 + y^2 = r^2

5. Вычтем первое уравнение из второго: x^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = r^2 - 7^2 0 = r^2 - 49

6. Решим это уравнение относительно r: r^2 = 49 r = sqrt(49) r = 7

Таким образом, радиус окружности равен 7.