Question

В треугольнике ABC проведена медиана BE. Найдите длину AE, если AB равен 6 см, периметр треугольника ABC равен 18 см, а BC на 2 см больше AB.

Answer 1

ВС=6+2=8 см, АС=18-8-6=4 см. Т.к. медиана делит АС пополам, то АЕ=ЕС=2 см. 

Answer 2

Давайте обозначим длину отрезка \(AB\) как \(a\), длину отрезка \(BC\) как \(b\) и длину отрезка \(BE\) как \(x\). Также известно, что \(BC = AB + 2\).

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\[a + b + AC = 18.\]

Учитывая, что \(BC = AB + 2\), мы можем выразить \(b\) через \(a\):

\[b = a + 2.\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для периметра:

\[a + (a + 2) + AC = 18.\]

Упростим уравнение:

\[2a + AC = 16.\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ABE\). Поскольку \(BE\) - медиана, она делит сторону \(AC\) пополам. Таким образом, длина отрезка \(AE\) равна половине длины \(AC\):

\[AE = \frac{AC}{2}.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[2a + AC = 16, \\ AE = \frac{AC}{2}.\]

Давайте решим систему уравнений. Выразим \(AC\) из первого уравнения:

\[AC = 16 - 2a.\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[AE = \frac{16 - 2a}{2}.\]

Упростим:

\[AE = 8 - a.\]

Теперь у нас есть выражение для длины отрезка \(AE\) в зависимости от длины \(a\). Чтобы найти значение \(a\), мы можем использовать исходное условие \(AB = 6\). Подставим \(a = 6\) в уравнение:

\[AE = 8 - 6 = 2.\]

Итак, длина отрезка \(AE\) равна \(2\) см.