Question

В прямоугольном треугольнике ABC через середину Р катета АС проведен перпендикуляр, пересекающий гипотенузу АВ в точке М. Найдите АВ, если СМ = 11 см

Answer 1

СР=РА по условию, МР-перпендикуляр к СА, значит МР║СА  и является средней линией ΔАВС.  СМ-медиана ΔАВС, т.к. (·) М-середина АВ.
Для медианы прямоугольного треугольника есть формула.
СМ=1/2АВ, значит АВ=2СМ=2*11=22 см
чертеж в файле

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, которое гласит: "Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника и отношение длин отрезков гипотенузы, образованных высотой, равно отношению длин катетов".

Пусть АВ = х см. Так как СМ = 11 см, то МВ = АВ - АМ = х - 11 см.

Из свойства подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

(АМ / МВ) = (АС / СВ)

Заменим известные значения:

(х / (х - 11)) = (АС / АВ)

Далее, заменим АС на АС = √(АВ^2 - АМ^2), где АВ = х и АМ = 11:

(х / (х - 11)) = (√(х^2 - 11^2) / х)

Теперь, умножим обе части уравнения на (х - 11), чтобы избавиться от знаменателя:

х^2 = (√(х^2 - 11^2) * (х - 11))

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

х^4 - 22х^3 + 121х^2 = х^2 * (х^2 - 11^2)

х^4 - 22х^3 + 121х^2 = х^4 - 121х^2

Упростим уравнение:

-22х^3 = -121х^2

Разделим обе части уравнения на х^2:

-22х = -121

Решим полученное уравнение:

х = -121 / -22

х ≈ 5.5

Таким образом, длина АВ равна приблизительно 5.5 см.